Fiche de révision : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

📋 Plan du Cours

1. Épreuve de Bernoulli
2. Schéma de Bernoulli
3. Loi binomiale et dénombrement
4. Calculs avec la calculatrice
5. Exemples de probabilités binomiales
6. Reconnaître les paramètres binomiaux

📖 1. Épreuve de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues nommées succès et échec.

📝 Points essentiels

• Pour un lancer de pièce équilibrée, si pile est le succès, la probabilité du succès est $p=\frac12$.

• Pour un lancer de dé, si obtenir un six est le succès, la probabilité du succès est $p=\frac16$.

💡 Astuce mémo

Succès et échec sont les deux issues opposées d’une même épreuve.

📖 2. Schéma de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$.

📝 Points essentiels

• La répétition de 10 lancers d’une pièce de monnaie forme un schéma de Bernoulli de paramètres $n=10$ et $p=\frac12$.

📖 3. Loi binomiale et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi de probabilité qui donne le nombre de succès obtenu dans un schéma de Bernoulli composé de $n$ épreuves identiques et indépendantes.

★ À maîtriser

• Les paramètres d’une loi binomiale sont le nombre d’épreuves $n$ et la probabilité de succès $p$, et la loi se note $X\sim B(n,p)$.

Compléments

📐 Formule - Pour trois épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$, la probabilité d’obtenir exactement deux succès est $P(X=2)=3p^2(1-p)$.

• Les suites donnant exactement deux succès sont : succès-succès-échec, succès-échec-succès, échec-succès-succès

📖 4. Calculs avec la calculatrice

📝 Points essentiels

• Pour calculer une probabilité exacte avec une calculatrice, on choisit la fonction binomFdp sur Texas Instruments ou Bpd sur Casio, puis on saisit les paramètres de la loi et le nombre de succès recherché.

• Pour calculer une probabilité cumulée de la forme $P(X\leq k)$, on choisit binomFRép sur Texas Instruments ou Bcd sur Casio, puis on saisit les paramètres de la loi et la borne.

💡 Astuce mémo

binomFdp donne une probabilité exacte ; binomFRép donne une probabilité cumulée.

📖 5. Exemples de probabilités binomiales

📝 Points essentiels

• Pour $X\sim B(20;0{,}7)$, les résultats donnés sont $P(X\leq2)=3{,}8\times10^{-8}$, $P(X=10)=0{,}0308$, $P(X\leq14)=0{,}5836$ et $P(X>8)=0{,}9949$.

• Pour $X\sim B(15;0{,}2)$, les résultats donnés sont $P(X=6)=0{,}0430$, $P(5\leq X<10)=0{,}1641$, $P(X\geq12)=1\times10^{-6}$ et $P(X=9)=6{,}7\times10^{-4}$.

📖 6. Reconnaître les paramètres binomiaux

📝 Points essentiels

• Pour huit stylos prélevés successivement avec remise, si la probabilité qu’un stylo soit défectueux est 0,1, le nombre de stylos défectueux suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}1$.

• Pour 48 bouteilles indépendantes ayant chacune une probabilité 0,12 d’être bouchonnée, le nombre de bouteilles bouchonnées suit une loi binomiale de paramètres $n=48$ et $p=0{,}12$.

• Pour 35 troncs indépendants ayant chacun une probabilité 0,06 de présenter au moins un défaut, le nombre de troncs défectueux suit une loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0{,}06$.

• Pour 20 chats assimilés à des tirages avec remise et ayant chacun une probabilité 0,45 d’obtenir un test positif, le nombre de tests positifs suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}45$.

• Pour 7 lancers indépendants d’un dé, si le succès est obtenir 3, 4, 5 ou 6, la probabilité de succès est $\frac46=\frac23$ et le nombre de succès suit $B(7;\frac23)$.