QCM : Schéma de Bernoulli et loi binomiale (11 questions)

Question 1

1. On étudie 20 chats, assimilés à des tirages avec remise, et chaque test a une probabilité de résultat positif de 0,45. Quels paramètres convient-il d’utiliser pour modéliser le nombre de tests positifs ?

n=20

et

p=0,45

n=0,45

et

p=20

n=19

et

p=0,45

n=20

et

p=0,55

Explication

La variable compte les résultats positifs sur 20 essais, dont chacun a une probabilité de succès de 0,45 : les paramètres sont donc $n=20$ et $p=0,45$ . La valeur 0,55 correspond aux résultats négatifs, tandis que les autres choix inversent les paramètres ou retirent un essai.

Answer

$$n=20$$ et $$p=0,45$$

Question 2

2. Pour une variable binomiale, une élève cherche la probabilité que le nombre de succès soit inférieur ou égal à 3. Quelle fonction convient sur une calculatrice Casio ?

binomFdp

Bpd

binomFRép

Bcd

Explication

Pour calculer $P(X\leq k)$ sur Casio, on utilise Bcd après avoir saisi les paramètres et la borne. Bpd donne une probabilité exacte, tandis que binomFRép et binomFdp sont les fonctions correspondantes sur Texas Instruments.

Answer

binomFdp sur Texas Instruments

Answer

$$n=10$$ et $$p=\frac{1}{2}$$

Answer

Le nombre de succès obtenus

Answer

Deux issues nommées succès et échec

Answer

Les épreuves sont identiques et indépendantes, avec une même probabilité de succès $$p$$

Answer

$$3p^2(1-p)$$

Answer

$$n=8$$ et $$p=0,1$$

Answer

$$\frac{1}{6}$$

Question 3

3. Sur une calculatrice, Lina veut obtenir la probabilité exacte $P(X=4)$ pour une variable binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}3$ . Quelle fonction doit-elle choisir ?

Bpd sur Casio

binomFRép sur Texas Instruments

Bcd sur Casio

binomFdp sur Texas Instruments

Explication

Pour une probabilité exacte, la fonction est binomFdp sur Texas Instruments ou Bpd sur Casio. binomFRép et Bcd servent aux probabilités cumulées, tandis que Bpd correspond à Casio et non à Texas Instruments.

Question 4

4. On répète dix fois le lancer d’une pièce équilibrée, en définissant pile comme le succès. Quels sont les paramètres du schéma de Bernoulli ?

n=10

et

p=\frac{1}{2}

n=\frac{1}{2}

et

p=10

n=10

et

p=\frac{1}{2}

pour l’échec

n=10

et

p=\frac{1}{6}

Explication

Le schéma comprend dix épreuves, donc $n=10$ , et pile a une probabilité de $\frac{1}{2}$ , donc $p=\frac{1}{2}$ . L’inversion des paramètres confond leur rôle, $\frac{1}{6}$ vient du lancer de dé, et la probabilité de l’échec ne correspond pas au succès défini ici.

Question 5

5. Une expérience consiste à répéter plusieurs fois le même tirage indépendant, chaque tirage ayant deux issues possibles. Quelle quantité la loi binomiale décrit-elle ?

Le nombre d’épreuves réalisées

La probabilité d’un succès à une épreuve

La probabilité d’une suite précise d’issues

Le nombre de succès obtenus

Explication

La loi binomiale décrit le nombre de succès dans des épreuves identiques et indépendantes. Le nombre d’épreuves est un paramètre, la probabilité d’un succès caractérise chaque épreuve, et une suite précise correspond à une issue particulière.

Question 6

6. On modélise une expérience aléatoire par une épreuve de Bernoulli : quelle caractéristique doit-elle présenter ?

Deux issues de même probabilité

Plusieurs répétitions indépendantes

Deux issues nommées succès et échec

Plusieurs issues nommées succès et échec

Explication

Une épreuve de Bernoulli comporte deux issues, que l’on nomme succès et échec. Des issues équiprobables ne sont pas requises, et la répétition indépendante caractérise un schéma de Bernoulli.

Question 7

7. Une expérience consiste à répéter plusieurs épreuves de Bernoulli : quelles conditions permettent de la qualifier de schéma de Bernoulli ?

Les épreuves sont identiques et dépendantes, avec une même probabilité de succès

p

Les épreuves sont différentes et indépendantes, avec une même probabilité de succès

p

Les épreuves sont identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès variable

Les épreuves sont identiques et indépendantes, avec une même probabilité de succès

p

Explication

Un schéma de Bernoulli répète des épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant la même probabilité de succès $p$ . La dépendance, la différence entre les épreuves ou la variation de $p$ contredit l’une de ces conditions.

Question 8

8. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,7$ . Quelle valeur correspond à $P(X=10)$ ?

0,5836

3,8 × 10⁻⁸

0,9949

0,0308

Explication

La probabilité d’obtenir exactement 10 succès est $P(X=10)=0,0308$ . La valeur 0,5836 correspond à une probabilité cumulée jusqu’à 14, 0,9949 à une probabilité au-delà de 8, et $3,8\times10^{-8}$ à une probabilité cumulée jusqu’à 2.

Question 9

9. Un dispositif effectue trois essais indépendants, avec une probabilité de succès $p$ à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?

p^3

p^2(1-p)

3p^2

3p^2(1-p)

Explication

Deux succès et un échec ont une probabilité $p^2(1-p)$ pour un ordre donné, et il existe trois ordres possibles, d’où $3p^2(1-p)$ . $p^2(1-p)$ oublie les ordres, $p^3$ correspond à trois succès et $3p^2$ omet la probabilité de l’échec.

Question 10

10. Une entreprise prélève successivement avec remise huit stylos, et la probabilité qu’un stylo soit défectueux est de 0,1. Quels paramètres décrivent la loi du nombre de stylos défectueux ?

n=8

et

p=0,9

n=0,1

et

p=8

n=7

et

p=0,1

n=8

et

p=0,1

Explication

Le nombre d’essais est celui des stylos prélevés, soit $n=8$ , et la probabilité du succès choisi — obtenir un stylo défectueux — vaut $p=0,1$ . L’inversion confond les rôles de $n$ et $p$ , $0,9$ est la probabilité d’absence de défaut, et $7$ omet un prélèvement.

Question 11

11. Lors d’un lancer de dé équilibré, on définit le succès comme l’obtention d’un six. Quelle est la probabilité de succès ?

\frac{5}{6}

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

1

Explication

Une seule des six faces du dé correspond au succès, donc sa probabilité est $\frac{1}{6}$ . $\frac{5}{6}$ correspond à l’échec, $1$ suppose que toute face est un succès, et $\frac{1}{2}$ reprend le cas d’une pièce équilibrée.

QCM : Schéma de Bernoulli et loi binomiale (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On étudie 20 chats, assimilés à des tirages avec remise, et chaque test a une probabilité de résultat positif de 0,45. Quels paramètres convient-il d’utiliser pour modéliser le nombre de tests positifs ?

2. Pour une variable binomiale, une élève cherche la probabilité que le nombre de succès soit inférieur ou égal à 3. Quelle fonction convient sur une calculatrice Casio ?

3. Sur une calculatrice, Lina veut obtenir la probabilité exacte $P(X=4)$ pour une variable binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}3$ . Quelle fonction doit-elle choisir ?

4. On répète dix fois le lancer d’une pièce équilibrée, en définissant pile comme le succès. Quels sont les paramètres du schéma de Bernoulli ?

5. Une expérience consiste à répéter plusieurs fois le même tirage indépendant, chaque tirage ayant deux issues possibles. Quelle quantité la loi binomiale décrit-elle ?

6. On modélise une expérience aléatoire par une épreuve de Bernoulli : quelle caractéristique doit-elle présenter ?

7. Une expérience consiste à répéter plusieurs épreuves de Bernoulli : quelles conditions permettent de la qualifier de schéma de Bernoulli ?

8. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,7$ . Quelle valeur correspond à $P(X=10)$ ?

9. Un dispositif effectue trois essais indépendants, avec une probabilité de succès $p$ à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?

10. Une entreprise prélève successivement avec remise huit stylos, et la probabilité qu’un stylo soit défectueux est de 0,1. Quels paramètres décrivent la loi du nombre de stylos défectueux ?

11. Lors d’un lancer de dé équilibré, on définit le succès comme l’obtention d’un six. Quelle est la probabilité de succès ?

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Questions et réponses du QCM

1. On étudie 20 chats, assimilés à des tirages avec remise, et chaque test a une probabilité de résultat positif de 0,45. Quels paramètres convient-il d’utiliser pour modéliser le nombre de tests positifs ?

2. Pour une variable binomiale, une élève cherche la probabilité que le nombre de succès soit inférieur ou égal à 3. Quelle fonction convient sur une calculatrice Casio ?

3. Sur une calculatrice, Lina veut obtenir la probabilité exacte P(X=4)P(X=4)P(X=4) pour une variable binomiale de paramètres n=8n=8n=8 et p=0,3p=0{,}3p=0,3. Quelle fonction doit-elle choisir ?

4. On répète dix fois le lancer d’une pièce équilibrée, en définissant pile comme le succès. Quels sont les paramètres du schéma de Bernoulli ?

5. Une expérience consiste à répéter plusieurs fois le même tirage indépendant, chaque tirage ayant deux issues possibles. Quelle quantité la loi binomiale décrit-elle ?

6. On modélise une expérience aléatoire par une épreuve de Bernoulli : quelle caractéristique doit-elle présenter ?

7. Une expérience consiste à répéter plusieurs épreuves de Bernoulli : quelles conditions permettent de la qualifier de schéma de Bernoulli ?

8. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n=20n=20n=20 et p=0,7p=0,7p=0,7. Quelle valeur correspond à P(X=10)P(X=10)P(X=10) ?

9. Un dispositif effectue trois essais indépendants, avec une probabilité de succès ppp à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?

10. Une entreprise prélève successivement avec remise huit stylos, et la probabilité qu’un stylo soit défectueux est de 0,1. Quels paramètres décrivent la loi du nombre de stylos défectueux ?

11. Lors d’un lancer de dé équilibré, on définit le succès comme l’obtention d’un six. Quelle est la probabilité de succès ?

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3. Sur une calculatrice, Lina veut obtenir la probabilité exacte $P(X=4)$ pour une variable binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}3$ . Quelle fonction doit-elle choisir ?

8. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,7$ . Quelle valeur correspond à $P(X=10)$ ?

9. Un dispositif effectue trois essais indépendants, avec une probabilité de succès $p$ à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?