Fiche de révision : Second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Forme canonique et complétion du carré
3. Variations et parabole
4. Équation et discriminant
5. Factorisation et racines
6. Signe d’un trinôme

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée d’un trinôme est $ax^2+bx+c$, tandis que les expressions factorisée et canonique sont d’autres écritures de la même fonction.

• Les expressions $3x^2-7x+3$ et $\frac12x^2-5x+\frac53$ définissent des fonctions polynômes du second degré.

📖 2. Forme canonique et complétion du carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, appelée forme canonique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, les paramètres de la forme canonique sont $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• La complétion du carré repose sur l’identité $x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$.

• La fonction $f(x)=2x^2+8x-1$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=2(x+2)^2-9$.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → identifier α et β

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le point de coordonnées $(\alpha;\beta)$.

★ À maîtriser

📌 Si a>0, la fonction admet un minimum β atteint en α, elle est décroissante sur $]-\infty;\alpha[$ puis croissante sur $]\alpha;+\infty[$.

📌 Si a<0, la fonction admet un maximum β atteint en α, elle est croissante sur $]-\infty;\alpha[$ puis décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.

Compléments

📌 La parabole représentative d’une fonction du second degré admet comme axe de symétrie la droite d’équation $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum et parabole vers le haut ; a<0 : maximum et parabole vers le bas

📖 4. Équation et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Discriminant : Le nombre réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, elle admet une solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle admet deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

Compléments

📌 Une racine de f est une solution de l’équation $f(x)=0$ et correspond graphiquement à une intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 5. Factorisation et racines

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne possède pas de forme factorisée réelle ; si $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, les racines vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-5x+6$, les racines sont 2 et 3 car leur somme vaut 5 et leur produit vaut 6.

• Pour $f(x)=x^2+2x-8$, comme 2 est une racine évidente, l’autre racine vaut -4 grâce à la relation sur le produit des racines.

💡 Astuce mémo

Discriminant → racines → forme factorisée → somme et produit

📖 6. Signe d’un trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Une comparaison d’un trinôme à zéro sous l’une des formes $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c\ge0$, $ax^2+bx+c<0$ ou $ax^2+bx+c\le0$, avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours du signe de a ; si $\Delta=0$, il est du signe de a sauf en la racine double où il s’annule.

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé à a entre les deux racines.

Compléments

• 🔄 Pour résoudre une inéquation du second degré, on:
  1. calcule le discriminant
  2. détermine les éventuelles racines
  3. établit le signe du trinôme
  4. déduit l’ensemble solution

💡 Astuce mémo

Le discriminant détermine les racines, qui déterminent le tableau de signe

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant