QCM : Second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^2-2x+1
f(x)=5x+2f(x)=\frac{5}{x}+2
f(x)=2x3−x+1f(x)=2x^3-x+1
f(x)=4x−7f(x)=4x-7

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0, comme dans la première expression. L’expression affine a un coefficient de x2x^2 nul, tandis que les deux autres ne sont pas des polynômes du second degré.

2. Quelle caractéristique distingue la forme développée d’un trinôme de sa forme canonique ?

La forme développée met en évidence les coordonnées du sommet de la parabole.
La forme développée ne peut représenter qu’une fonction dont le discriminant est positif.
La forme développée met en évidence les coefficients de x2x^2, de xx et le terme constant.
La forme développée présente nécessairement le produit de deux expressions affines.

La forme développée met en évidence les coefficients de $$x^2$$, de $$x$$ et le terme constant.

Explication

La forme développée est ax2+bx+cax^2+bx+c et fait apparaître directement ses trois coefficients. La forme canonique met plutôt en évidence le sommet, tandis que la factorisation et le discriminant répondent à d’autres objectifs.

3. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
f(x)=(ux+v)(wx+z)f(x)=(ux+v)(wx+z)
f(x)=a(x−α)+βf(x)=a(x-\alpha)+\beta

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Explication

Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, appelée forme canonique. L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée, tandis que les autres expressions ne donnent pas la forme canonique générale.

4. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, quelles formules donnent les paramètres de sa forme canonique ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}
α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=c−b24a\beta=c-\frac{b^2}{4a}
α=−ba\alpha=-\frac{b}{a} et β=b2−4ac4a\beta=\frac{b^2-4ac}{4a}
α=−2ab\alpha=-\frac{2a}{b} et β=4ab2−4ac\beta=\frac{4a}{b^2-4ac}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Explication

Les paramètres canoniques sont α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}. Une confusion fréquente consiste à associer α\alpha à l’ordonnée et β\beta à l’abscisse, alors que α\alpha est l’abscisse du sommet et β\beta son ordonnée.

5. Quelle est la définition d’une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction qui possède une seule racine réelle.
Une fonction qui ne peut pas s’écrire sous la forme ax2+bx+cax^2+bx+c.
Une fonction définie sur ℝ par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a,b,c reˊels et a≠0a, b, c \text{ réels et } a \ne 0.
Une fonction dont le graphique est une droite.

Une fonction définie sur ℝ par $$f(x)=ax^2+bx+c$$, avec $$a, b, c \text{ réels et } a \ne 0$$.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est définie par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a,b,ca, b, c réels et a≠0a \ne 0, ce qui garantit que son graphique est une parabole. Les autres propositions ne correspondent pas à cette définition.

6. Selon la formule de la forme canonique f(x)=a(x− extalpha)2+extbetaf(x)=a(x-\text{ extalpha})^2+ extbeta, comment calcule-t-on le paramètre extalpha extalpha à partir de aa et bb dans f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c?

extalpha=−b2a extalpha=-\frac{b}{2a}
extalpha=b2a extalpha=\frac{b}{2a}
extalpha=−cb extalpha=-\frac{c}{b}
extalpha=ca extalpha=\frac{c}{a}

$$ extalpha=-\frac{b}{2a}$$

Explication

Le paramètre extalpha extalpha est calculé par −b2a-\frac{b}{2a}, ce qui correspond à la coordonnée x du sommet de la parabole. La distraction avec b2a\frac{b}{2a} inverse le signe, ce qui est incorrect.

7. Quel est le rôle principal de la factorisation dans l'étude des racines d'un trinôme du second degré?

Elle permet d'exprimer le trinôme sous une forme qui facilite la lecture directe des racines.
Elle sert uniquement à simplifier l'expression sans lien avec les racines.
Elle est utilisée pour déterminer le signe du trinôme sans calculer ses racines.
Elle n'a aucun rôle dans l'étude des racines, uniquement pour la simplification algébrique.

Elle permet d'exprimer le trinôme sous une forme qui facilite la lecture directe des racines.

Explication

La factorisation permet d'écrire le trinôme sous une forme où les racines apparaissent explicitement, facilitant leur identification. La dernière option est incorrecte car la factorisation est directement liée à la recherche des racines.

8. En quoi la formule de la forme canonique f(x)=a(x−\alpha)2+βf(x)=a(x-\text{\alpha})^2+\beta diffère-t-elle de la forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c ?

La forme développée est toujours plus simple à manipuler que la forme canonique.
La forme canonique ne permet pas de déterminer facilement les racines du trinôme.
La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, tandis que la forme développée ne donne pas directement cette information.
La forme développée est utilisée uniquement pour les fonctions linéaires.

La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, tandis que la forme développée ne donne pas directement cette information.

Explication

La forme canonique exprime la fonction en mettant en évidence le sommet de la parabole, ce qui facilite l'étude de ses variations. La forme développée ne donne pas directement cette information, mais est utile pour le calcul initial.

9. Quelles sont les causes principales qui expliquent la forme particulière d’un trinôme du second degré ?

L’existence de deux racines réelles ou complexes.
La possibilité de mettre la fonction sous forme canonique ou factorisée.
La présence d’un terme en x2x^2, en xx, et d’un terme constant.
La degré 2 de la fonction et la présence de coefficients réels.

La présence d’un terme en $$x^2$$, en $$x$$, et d’un terme constant.

Explication

La forme générale ax2+bx+cax^2+bx+c inclut un terme en x2x^2, un en xx, et un terme constant, ce qui explique sa nature de second degré. La présence de ces termes permet de caractériser la fonction comme un trinôme du second degré.

10. Comment peut-on appliquer la complétion du carré pour déterminer rapidement le sommet d'une parabole représentée par la fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c?

En transformant l'expression en forme canonique en utilisant la formule de complétion du carré.
En calculant le discriminant pour connaître le nombre de solutions réelles.
En factorisant le trinôme pour identifier les racines.
En dérivant la fonction pour trouver la valeur de xx où la pente est nulle.

En transformant l'expression en forme canonique en utilisant la formule de complétion du carré.

Explication

La complétion du carré permet de transformer la fonction en forme canonique, ce qui facilite l'identification du sommet de la parabole. La dérivée donne aussi le sommet, mais la méthode de complétion du carré est spécifique à la forme du trinôme.

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Quelle est la forme générale d'une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.

Quelle est la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Quelles expressions définissent des fonctions polynômes du second degré ?

3x2−7x+33x^2-7x+3 et 12x2−5x+53\frac12x^2-5x+\frac53.

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