QCM : Second degré : fonctions trinômes — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’une fonction polynôme de degré 2, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le coefficient aa peut être nul dans une fonction polynôme de degré 2.
Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur l’ensemble des nombres réels.
Son expression développée s’écrit sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c.
Les coefficients aa, bb et cc appartiennent à l’ensemble des nombres réels.
Une fonction polynôme de degré 2 vérifie la condition a≠0a\neq 0.

Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur l’ensemble des nombres réels. · Son expression développée s’écrit sous la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$. · Les coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$ appartiennent à l’ensemble des nombres réels. · Une fonction polynôme de degré 2 vérifie la condition $$a\neq 0$$.

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur R\mathbb{R} et s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Ses coefficients sont réels et le coefficient aa doit être non nul ; s’il était nul, le degré serait inférieur à 2.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les coefficients et la forme développée, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Les trois coefficients sont réservés à la forme canonique du polynôme.
Les nombres aa, bb et cc sont les coefficients du polynôme.
L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c constitue la forme factorisée du polynôme.
La forme développée distingue l’expression ax2+bx+cax^2+bx+c des autres écritures.
Pour être de degré 2, le coefficient a peut être nul.

Les nombres $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont les coefficients du polynôme. · La forme développée distingue l’expression $$ax^2+bx+c$$ des autres écritures.

Explication

Les nombres aa, bb et cc sont bien les coefficients du polynôme, et ax2+bx+cax^2+bx+c est sa forme développée. Cette écriture ne correspond ni à la forme factorisée ni à la forme canonique. Pour que le polynôme soit de degré 2, il faut en outre que a≠0a\neq 0 ; les coefficients ne sont pas réservés à la forme canonique.

3. Concernant la forme canonique d’une fonction polynôme de degré 2, quelles sont les réponses exactes ?

Le sommet possède pour abscisse β\beta dans cette écriture.
Dans la forme canonique, α=b2a\alpha=\frac{b}{2a}.
La forme canonique impose la relation α=−c2a\alpha=-\frac{c}{2a}.
Toute fonction polynôme de degré 2 peut s’écrire f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
Dans la forme canonique, β=f(−α)\beta=f(-\alpha).

Toute fonction polynôme de degré 2 peut s’écrire $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$.

Explication

La forme canonique est f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha). Les autres propositions inversent un signe, l’argument de la fonction ou le rôle des coordonnées du sommet.

4. La courbe représentative et les éléments géométriques d’une fonction polynôme de degré 2 comprennent :

La courbe représentative est une parabole dans un repère.
Le sommet de la parabole est le point S(α;β)S(\alpha;\beta).
L’axe de symétrie de la parabole a pour équation x=αx=\alpha.
L’axe de symétrie de la parabole a pour équation y=βy=\beta.
La droite d’équation x=αx=\alpha est verticale dans le repère.

La courbe représentative est une parabole dans un repère. · Le sommet de la parabole est le point $$S(\alpha;\beta)$$. · L’axe de symétrie de la parabole a pour équation $$x=\alpha$$. · La droite d’équation $$x=\alpha$$ est verticale dans le repère.

Explication

La courbe d’un polynôme de degré 2 est une parabole, de sommet S(α;β)S(\alpha;\beta) et d’axe de symétrie x=αx=\alpha. Cette équation décrit une droite verticale ; l’équation y=βy=\beta décrirait une droite horizontale.

5. Une fonction polynôme de degré 2 possède un coefficient a<0a<0. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La fonction est croissante sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha].
La fonction est décroissante sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha].
La fonction est croissante sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[.
La fonction atteint un minimum égal à β\beta pour x=αx=\alpha.
La fonction est décroissante sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[.

La fonction est croissante sur $$]-\infty;\alpha]$$. · La fonction est décroissante sur $$[\alpha;+\infty[$$.

Explication

Lorsque a<0a<0, la fonction est croissante jusqu’à α\alpha puis décroissante après α\alpha. Elle atteint alors un maximum égal à β\beta pour x=αx=\alpha, et non un minimum.

6. Concernant l’ouverture d’une parabole :

Le signe de aa permet de déterminer l’orientation de la parabole.
Une valeur positive de aa correspond à une ouverture vers le haut.
Une parabole orientée vers le haut possède un coefficient aa positif.
Pour f(x)=−2+(x−1)2f(x)=-2+(x-1)^2, la parabole est ouverte vers le bas car a=1>0a=1>0.
Une valeur négative de aa correspond à une ouverture vers le bas.

Le signe de $$a$$ permet de déterminer l’orientation de la parabole. · Une valeur positive de $$a$$ correspond à une ouverture vers le haut. · Une parabole orientée vers le haut possède un coefficient $$a$$ positif. · Une valeur négative de $$a$$ correspond à une ouverture vers le bas.

Explication

Le signe de aa détermine l’orientation d’une parabole : si a>0a>0, elle est ouverte vers le haut, tandis que si a<0a<0, elle est ouverte vers le bas. Ainsi, une valeur positive de aa correspond à une ouverture vers le haut, et une parabole orientée vers le haut possède un coefficient positif. Pour f(x)=−2+(x−1)2f(x)=-2+(x-1)^2, le coefficient vaut a=1>0a=1>0 : sa parabole est donc ouverte vers le haut, et non vers le bas. Une valeur négative de aa correspond à une ouverture vers le bas.

7. Pour la fonction f(x)=−2+(x−1)2f(x)=-2+(x-1)^2, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La parabole est ouverte vers le haut.
L’abscisse du sommet vaut 11.
Le coefficient associé au carré est a=1a=1.
L’ordonnée du sommet vaut −2-2.
Le sommet de la parabole est le point S(1;−2)S(1;-2).

La parabole est ouverte vers le haut. · L’abscisse du sommet vaut $$1$$. · Le coefficient associé au carré est $$a=1$$. · L’ordonnée du sommet vaut $$-2$$. · Le sommet de la parabole est le point $$S(1;-2)$$.

Explication

La fonction est déjà écrite sous la forme f(x)=1(x−1)2−2f(x)=1(x-1)^2-2. Son sommet est donc S(1;−2)S(1;-2), son coefficient quadratique vaut 1>01>0 et sa parabole est ouverte vers le haut.

8. Lorsqu’on transforme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c en forme canonique, quelles étapes sont exactes ?

On commence par développer le carré déjà complété.
On complète ensuite le carré dans l’expression obtenue.
On extrait d’abord les racines du trinôme.
On commence par factoriser l’expression par aa.
La factorisation par aa précède la mise sous carré parfait.

On complète ensuite le carré dans l’expression obtenue. · On commence par factoriser l’expression par $$a$$. · La factorisation par $$a$$ précède la mise sous carré parfait.

Explication

La transformation débute par la factorisation par aa, puis se poursuit par la complétion du carré. Le développement d’un carré ou la recherche préalable des racines ne constitue pas l’enchaînement indiqué.

9. Parmi les propositions suivantes concernant la forme canonique, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La forme générale comporte le terme a(x+b2a)2a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.
Le paramètre α\alpha est donné par −b2−4ac4a-\frac{b^2-4ac}{4a}.
La forme canonique peut s’écrire f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
Le terme constant de la forme générale vaut −b2−4ac4a-\frac{b^2-4ac}{4a}.
Dans cette écriture, α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

La forme générale comporte le terme $$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$. · La forme canonique peut s’écrire $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$. · Le terme constant de la forme générale vaut $$-\frac{b^2-4ac}{4a}$$. · Dans cette écriture, $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

La forme canonique s’écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}. Dans la forme générale, le carré est a(x+b2a)2a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 et le terme extérieur vaut −b2−4ac4a-\frac{b^2-4ac}{4a} ; cette dernière expression donne donc β\beta, pas α\alpha.

10. Les différentes formes d’un trinôme permettent notamment de :

Lire les intersections avec l’axe des abscisses dans la forme développée.
Obtenir le sommet grâce à la forme canonique.
Lire les coefficients dans la forme développée.
Trouver les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses grâce à la forme factorisée.
Déterminer les variations grâce à la forme canonique.

Obtenir le sommet grâce à la forme canonique. · Lire les coefficients dans la forme développée. · Trouver les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses grâce à la forme factorisée. · Déterminer les variations grâce à la forme canonique.

Explication

La forme développée facilite la lecture des coefficients. La forme canonique donne accès au sommet et aux variations, tandis que la forme factorisée permet de déterminer les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses ; la forme développée n’est pas celle qui les fournit directement.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 29 flashcards sur Second degré : fonctions trinômes.

Qu'est-ce qu'une fonction polynôme de degré 2 ?

Une fonction définie sur ℝ de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq 0.

Quelle est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Comment s'exprime α\alpha dans la forme canonique ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Second degré : fonctions trinômes.

Voir la fiche →

Cours similaires

Air, atomes et molécules

Physique

Transmission et réplication du patrimoine génétique

SVT

La matière à notre échelle

Méthodologie expérimentale en psychologie

Évaluation et accompagnement des stagiaires

Méthodologie du raisonnement expérimental

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM