Fiche de révision : Second degré : fonctions trinômes

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions trinômes
2. Forme canonique et sommet
3. Variations selon le coefficient directeur
4. Reconnaître une parabole
5. Passer entre les formes

📖 1. Définition des fonctions trinômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Les nombres a, b et c sont les coefficients d’une fonction polynôme de degré 2, et l’expression $ax^2+bx+c$ est sa forme développée.

💡 Astuce mémo

ABC : a, b et c sont les coefficients

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme de degré 2 s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

• La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ et dont l’axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.

Compléments

• Pour obtenir la forme canonique de $x^2+6x+7$, on écrit $x^2+6x+7=(x+3)^2-9+7=(x+3)^2-2$.

• Si une parabole a pour sommet $S(2;5)$ et passe par $A(0;2)$, sa forme canonique est $f(x)=a(x-2)^2+5$, puis la condition $f(0)=2$ donne $4a+5=2$ et donc $a=-\frac{3}{4}$.

💡 Astuce mémo

Visualiser la parabole comme un bol centré sur α, avec son sommet en (α, β).

📖 3. Variations selon le coefficient directeur

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction polynôme de degré 2 admet un minimum égal à β, atteint pour $x=\alpha$.

📌 Si $a<0$, la fonction polynôme de degré 2 est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$, et elle admet un maximum égal à β atteint pour $x=\alpha$.

Compléments

📐 Formule — La forme canonique permet de montrer que $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ vérifie $f(x)\geq\beta$ lorsque $a>0$, car $(x-\alpha)^2\geq 0$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 4. Reconnaître une parabole

★ À maîtriser

• Le signe de a détermine l’ouverture de la parabole : si $a>0$, elle est ouverte vers le haut, et si $a<0$, elle est ouverte vers le bas.

Compléments

• Pour $f(x)=-2+(x-1)^2$, le sommet est $S(1;-2)$ et la parabole est ouverte vers le haut car $a=1>0$.

💡 Astuce mémo

a > 0 ouvre vers le haut, a < 0 ouvre vers le bas

📖 5. Passer entre les formes

★ À maîtriser

• Pour transformer $f(x)=ax^2+bx+c$ en forme canonique, on factorise d’abord par a, puis on complète le carré.

📐 Formule — La forme canonique générale d’un trinôme est $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$, soit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📌 La forme développée facilite la lecture des coefficients, la forme canonique donne le sommet et les variations, et la forme factorisée donne les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses.

Compléments

• Le trinôme $x^2-2x-8$ peut s’écrire sous forme factorisée $f(x)=(x-4)(x+2)$, ce qui donne les abscisses d’intersection avec l’axe des abscisses : 4 et -2.

💡 Astuce mémo

Développée → canonique → factorisée : calculer, compléter le carré, puis repérer les zéros.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un trinôme