Fiche de révision : Second degré partie 1

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme de degré 2
2. Parabole et sens de variation
3. Équation et discriminant

📖 1. Fonction polynôme de degré 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ par une expression de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée fonction trinôme du second degré, ou simplement trinôme.

• Les fonctions $f(x)=3x^2-7x+3$, $g(x)=x^2-5x+4$, $h(x)=4-2x^2$ et $k(x)=(x-4)(5-2x)$ sont des fonctions polynômes de degré 2.

📖 2. Parabole et sens de variation

📝 Points essentiels

📌 Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a>0$, la fonction est d’abord décroissante puis croissante, ce qui forme une cuvette.

📌 Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a<0$, la fonction est d’abord croissante puis décroissante, ce qui forme une colline.

• La représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne une cuvette, tandis que a < 0 donne une colline.

📖 3. Équation et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont des réels avec $a\ne0$.
• Discriminant : Nombre réel noté Δ et défini par $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

• Si $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède une unique solution $x_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour l’équation $3x^2-6x-2=0$, on a a = 3, b = -6, c = -2 et $\Delta=(-6)^2-4\times3\times(-2)=60$.

• Les équations $2x^2-x-6=0$, $4x^2-12x+9=0$ et $x^2+3x+10=0$ ont respectivement deux solutions distinctes, une solution unique et aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis distinguer Δ < 0, Δ = 0 et Δ > 0.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions