Fiche de révision : Suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition et raison
2. Termes et somme
3. Variation et représentation
4. Reconnaître et compléter une suite
5. Applications aux évolutions

📖 1. Définition et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite de nombres dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé raison, notée q.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une suite géométrique, $u_n=u_{n-1}\times q$.

📐 Formule — La raison d’une suite géométrique se calcule par $q=\frac{u_n}{u_{n-1}}$ à partir de deux termes successifs.

Compléments

• Pour une suite telle que $u_{15}=125$ et $u_{16}=93{,}75$, la raison vaut $q=\frac{93{,}75}{125}=0{,}75$.

💡 Astuce mémo

Suite arithmétique : différences constantes ; suite géométrique : quotients constants

📖 2. Termes et somme

★ À maîtriser

📐 Formule — Le terme de rang n d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison q vérifie $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

📐 Formule — La somme S des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ est $S=u_1\times\frac{q^n-1}{q-1}$.

Compléments

• Une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 a pour dixième terme $u_{10}=3\times2^{10-1}=1536$.

💡 Astuce mémo

Premier terme → raison → rang → terme

📖 3. Variation et représentation

📝 Points essentiels

📌 Les points de coordonnées $(n;u_n)$ d’une suite géométrique appartiennent à une courbe croissante lorsque q > 1 et décroissante lorsque q < 1.

💡 Astuce mémo

q > 1 : croissance ; q < 1 : décroissance

📖 4. Reconnaître et compléter une suite

★ À maîtriser

• Pour étudier une suite numérique, on compare ses différences puis ses quotients entre termes consécutifs afin de déterminer si elle est arithmétique ou géométrique.

Compléments

• La suite 2 ; 7 ; 24,5 ; 85,75 est géométrique de raison 3,5, tandis que la suite 5 ; 40 ; 320 ; 680 ne l’est pas.

• La suite 10 ; 5 ; 2,5 ; 1,25 est géométrique de raison 0,5.

📖 5. Applications aux évolutions

★ À maîtriser

📌 Une diminution de 10 % de la valeur précédente correspond à une multiplication par 0,9, donc les valeurs successives forment une suite géométrique de raison 0,9.

📐 Formule — Pour cette machine, la valeur au rang n est $V_n=9\,000\times0{,}9^{n-1}$.

📐 Formule — Pour une tension initiale de 24 V diminuant de 2 % par seconde, la tension au rang n s’écrit $u_n=24\times0{,}98^{n-1}$.

📌 Le montage cesse de fonctionner lorsque la tension à ses bornes devient inférieure à 15 V.

Compléments

• Une machine achetée 10 000 euros et diminuant de 10 % par an vaut 9 000 euros après un an, 8 100 euros après deux ans et 7 290 euros après trois ans.

📌 Une diminution de 2,1 % par seconde de la température correspond à une suite géométrique de raison 0,979.

📌 Une diminution de 2 % par seconde de la tension d’un condensateur correspond à une suite géométrique de raison 0,98.

💡 Astuce mémo

Baisse en pourcentage → multiplication par un coefficient → suite géométrique

📊 Tableaux de synthèse

Suite arithmétique ou géométrique