Fiche de révision : Séries de Fourier sur le cercle

📋 Plan du Cours

1. Espaces de fonctions périodiques
2. Coefficients et séries de Fourier
3. Histoire de la convergence
4. Riemann-Lebesgue et unicité
5. Base hilbertienne de L²
6. Convolution et noyaux
7. Noyau et théorème de Fejér
8. Bons noyaux et approximation
9. Localisation et constantes de Lebesgue
10. Théorèmes de Dirichlet
11. Critères de Dini et de Jordan
12. Séries trigonométriques et Abel
13. Critère d’Abel et théorème de Bernstein
14. Contre-exemple de du Bois-Reymond
15. Sommation d’Abel et noyau de Poisson
16. Fonction en dents de scie
17. Équidistribution des suites irrationnelles
18. Fonction continue partout non dérivable

📅 Repères chronologiques

1. 1829Peter Lejeune-Dirichlet a démontré un premier théorème général et rigoureux de convergence sous l’hypothèse que la fonction possède un nombre fini de minima et de maxima sur le cercle.
2. 1876Du Bois-Reymond a construit une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.
3. 1923Kolmogorov a construit une fonction de L1(T)L^1(T)L1(T) dont la série de Fourier diverge presque partout, puis il a obtenu en 1926 un exemple divergent en tout point.
4. 1966Carleson a démontré que, pour toute fonction f∈L2(T)f\in L^2(T)f∈L2(T), la série de Fourier converge vers fff presque partout sur le cercle.

📖 1. Espaces de fonctions périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Tore unidimensionnel : Le cercle unité $T=S^1=\{e^{i\theta}:\theta\in\mathbb R\}$, qui s’identifie au quotient $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$.
• Espace Lp : Pour $1\leq p<\infty$, $L^p(T)$ est l’espace des fonctions mesurables, 2π-périodiques presque partout, telles que $\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^p\frac{d\theta}{2\pi}<\infty$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme de $L^p(T)$ est $\|f\|_{L^p}=\left(\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^p\frac{dt}{2\pi}\right)^{1/p}$.

• Les espaces fonctionnels vérifient les inclusions topologiques $C^1(T)\hookrightarrow C^0(T)\hookrightarrow L^\infty(T)\hookrightarrow L^q(T)\hookrightarrow L^p(T)\hookrightarrow L^1(T)$ pour $1\leq p<q\leq\infty$.

Compléments

• Pour toute fonction 2π-périodique intégrable et tout $a\in\mathbb R$, l’intégrale sur un intervalle de longueur 2π est indépendante de sa position : $\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\,d\theta=\int_a^{a+2\pi}f(\theta)\,d\theta$.

📖 2. Coefficients et séries de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire L² : Le produit scalaire de $L^2(T)$ est $\langle f,g\rangle_{L^2}=\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\overline{g(\theta)}\frac{d\theta}{2\pi}$.
• Coefficient de Fourier : Pour $f\in L^1(T)$, le k-ième coefficient de Fourier est $\widehat f(k)=\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}\frac{d\theta}{2\pi}$.
• Somme partielle : D’ordre n de la série de Fourier est $S_n(f)(\theta)=\sum_{k=-n}^{n}\widehat f(k)e^{ik\theta}$.

★ À maîtriser

• Les fonctions exponentielles-modèles sont $e_n(\theta)=e^{in\theta}$ pour $n\in\mathbb Z$.

📐 Formule — Les exponentielles-modèles sont orthonormées dans $L^2(T)$ : $\langle e_{n_1},e_{n_2}\rangle_{L^2}=\delta_{n_1,n_2}$.

Compléments

📐 Formule — Tout coefficient de Fourier d’une fonction de $L^1(T)$ vérifie $|\widehat f(k)|\leq\|f\|_{L^1}$.

📖 3. Histoire de la convergence

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour toute fonction $f\in L^2(T)$, les sommes partielles convergent vers $f$ en norme L² : $\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(\theta)-\sum_{k=-n}^{n}\widehat f(k)e^{ik\theta}\right|^2\frac{d\theta}{2\pi}=0$.

📖 4. Riemann-Lebesgue et unicité

★ À maîtriser

📐 Formule — Le lemme de Riemann-Lebesgue affirme que pour toute fonction $f\in L^1(T)$, $\lim_{|k|\to\infty}\widehat f(k)=0$.

📌 Si une fonction continue $f\in C^0(T)$ a tous ses coefficients de Fourier nuls, alors $f$ est identiquement nulle.

• Deux fonctions continues sur le cercle sont égales si et seulement si tous leurs coefficients de Fourier coïncident.

📌 Si $f\in C^0(T)$ et si $\sum_{k\in\mathbb Z}|\widehat f(k)|<\infty$, alors sa série de Fourier converge uniformément vers $f$.

Compléments

• Pour une fonction réelle $f\in L^1(T,\mathbb R)$, les intégrales de ses produits avec $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$ tendent vers zéro lorsque $|k|\to\infty$.

📐 Formule — Si $f\in C^2(T)$, alors $\widehat f(k)=-\frac{1}{k^2}\int_{-\pi}^{\pi}f''(\theta)e^{-ik\theta}\frac{d\theta}{2\pi}$ et donc $|\widehat f(k)|=O(|k|^{-2})$.

💡 Astuce mémo

Oscillations rapides → coefficients tendant vers zéro

📖 5. Base hilbertienne de L²

🔑 Notions clés & Définitions

• Base hilbertienne : La famille $(e_k)_{k\in\mathbb Z}=(e^{ik\theta})_{k\in\mathbb Z}$ est une base hilbertienne de $L^2(T)$, car elle est orthonormée et totale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction $f\in L^2(T)$ se développe en série de Fourier convergente en norme L² : $f=\sum_{k\in\mathbb Z}\widehat f(k)e^{ik\theta}$ au sens de $L^2$.

📐 Formule — L’identité de Plancherel est $\sum_{k\in\mathbb Z}|\widehat f(k)|^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2\frac{dt}{2\pi}$.

Compléments

📐 Formule — L’inégalité de Bessel est $\sum_{k\in J}|\widehat f(k)|^2\leq\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2\frac{dt}{2\pi}$ pour tout $J\subset\mathbb Z$.

• L’application qui associe à $f\in L^2(T)$ la suite $(\widehat f(k))_{k\in\mathbb Z}$ identifie $L^2(T)$ à $\ell^2(\mathbb C)$.

💡 Astuce mémo

Convergence L² ≠ convergence ponctuelle

📖 6. Convolution et noyaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de convolution : Pour $f,g\in L^1(T)$, leur produit de convolution est $\,(f*g)(\theta)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(\theta-t)\frac{dt}{2\pi}$.
• Noyau de Dirichlet : $D_n(\theta)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ik\theta}=\frac{\sin((n+\frac12)\theta)}{\sin(\theta/2)}$ hors de $2\pi\mathbb Z$, avec $D_n(0)=2n+1$.
• Somme de Fejér : La moyenne de Cesàro des sommes partielles : $\sigma_n(f)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k(f)=F_n*f$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme partielle de Fourier s’écrit comme une convolution : $S_n(f)=D_n*f$.

📐 Formule — Le noyau de Fejér est $F_n(\theta)=\frac1n\left[\frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\right]^2$ hors de $2\pi\mathbb Z$, avec $F_n(0)=n$.

Compléments

📐 Formule — Le produit de convolution vérifie $\|f*g\|_{L^1}\leq\|f\|_{L^1}\|g\|_{L^1}$.

📌 Le noyau de Fejér est positif, vérifie $\int_{-\pi}^{\pi}F_n(\theta)\frac{d\theta}{2\pi}=1$, et la masse située hors de tout intervalle fixe $[-\delta,\delta]$ tend vers zéro lorsque $n\to\infty$.

💡 Astuce mémo

Convolution → Dirichlet → Fejér

📖 7. Noyau et théorème de Fejér

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de Fejér est la moyenne de Cesàro des sommes partielles de Fourier et vérifie $\sigma_n(f)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_k(f)=F_n*f=f*F_n$.

📐 Formule — Le noyau de Fejér est donné par $F_n(\theta)=\frac{1}{n}\left[\frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\right]^2$ si $\theta\notin2\pi\mathbb Z$, et par $F_n(\theta)=n$ si $\theta\in2\pi\mathbb Z$.

• Le noyau de Fejér est positif, son intégrale normalisée vaut $\int_{-\pi}^{\pi}F_n(\theta)\,\frac{d\theta}{2\pi}=1$, et sa masse située hors de tout intervalle fixé $[-\delta,\delta]$ tend vers zéro quand $n\to\infty$.

• Pour toute fonction continue et 2π-périodique, les sommes de Fejér convergent uniformément vers la fonction : $\|\sigma_n(f)-f\|_{C^0}\to0$.

Compléments

• Les exponentielles-modèles $(e^{ik\theta})_{k\in\mathbb Z}$ sont totales dans $(C^0(\mathbb T),\|\cdot\|_{C^0})$, car chaque somme de Fejér est un polynôme trigonométrique.

💡 Astuce mémo

Masse concentrée près de zéro ⇒ convergence uniforme

📖 8. Bons noyaux et approximation

🔑 Notions clés & Définitions

• Bons noyaux : Une famille de noyaux $(K_n)$ sur $\mathbb T$ est une famille de bons noyaux si sa masse normalisée vaut 1, si ses normes L1 sont uniformément bornées et si sa masse L1 hors de tout voisinage de zéro tend vers zéro.
• Approximation de l’identité : Une famille de bons noyaux est appelée approximation de l'identité parce que la convolution $f*K_n$ redonne uniformément f à la limite.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les trois conditions d'une famille de bons noyaux sont $\int_{-\pi}^{\pi}K_n\,\frac{d\theta}{2\pi}=1$, $\int_{-\pi}^{\pi}|K_n|\,\frac{d\theta}{2\pi}\le M$ et $\int_{\delta\le|\theta|\le\pi}|K_n|\,\frac{d\theta}{2\pi}\to0$ pour tout $0<\delta<\pi$.

• Pour une famille de bons noyaux et toute fonction continue $f$, les convolées $f*K_n$ convergent uniformément vers $f$ sur $\mathbb T$.

📖 9. Localisation et constantes de Lebesgue

★ À maîtriser

📌 Si deux fonctions intégrables f et g coïncident dans un voisinage ouvert de $\theta_0$, alors $S_n(g)(\theta_0)-S_n(f)(\theta_0)\to0$, donc leurs séries de Fourier ont le même comportement en ce point.

📐 Formule — La norme L1 du noyau de Dirichlet vérifie $\|D_n\|_{L^1}=\frac{4}{\pi^2}\log n+O(1)$, et tend donc vers l'infini.

📌 Le noyau de Fejér est positif et possède une norme L1 constante égale à 1, tandis que le noyau de Dirichlet oscille entre valeurs positives et négatives et possède une norme L1 croissant comme $\frac{4}{\pi^2}\log n$.

Compléments

• Le principe de localisation repose sur le fait que, hors de tout voisinage de zéro, les oscillations du noyau de Dirichlet sont contrôlées par le lemme de Riemann-Lebesgue.

📖 10. Théorèmes de Dirichlet

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction C1 par morceaux : Une fonction est C1 par morceaux sur le cercle si elle est C1 sur un nombre fini d'intervalles, admet des limites latérales et des dérivées latérales en chacun des points de rupture.

★ À maîtriser

📌 Si f est C1 par morceaux, sa série de Fourier converge en tout point $\theta$ vers $\frac{f_-(\theta)+f_+(\theta)}{2}$, valeur égale à f(θ) lorsque f est continue.

📌 Le théorème généralisé de Dirichlet s'applique lorsque les limites latérales existent et que les quotients $\frac{f(\theta_0-t)-f_-(\theta_0)}{t}$ et $\frac{f(\theta_0+t)-f_+(\theta_0)}{t}$ sont intégrables près de zéro.

Compléments

• Le lemme général de Riemann-Lebesgue affirme que l'intégrale d'une fonction L1 sur un intervalle compact contre $e^{i\omega t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$ tend vers zéro lorsque $|\omega|\to\infty$.

💡 Astuce mémo

Limites latérales → quotient intégrable → Riemann-Lebesgue

📖 11. Critères de Dini et de Jordan

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation bornée : Une fonction est à variation bornée sur [a,b] si le supremum des sommes $\sum_i|f(\sigma_i)-f(\sigma_{i-1})|$ sur toutes les subdivisions de [a,b] est fini.
• Fonction höldérienne : Une fonction est höldérienne d'exposant $0<\alpha\le1$ en θ₀ s'il existe C tel que $|f(\theta')-f(\theta_0)|\le C|\theta'-\theta_0|^\alpha$.

📝 Points essentiels

📌 Le test de Dini affirme que si, au point $\theta_0$, l'intégrale $\int_0^\pi\left|\frac{f(\theta_0-t)+f(\theta_0+t)-2f(\theta_0)}{t}\right|\,\frac{dt}{2\pi}$ est finie, alors la série de Fourier converge vers f(θ₀).

• La série de Fourier de toute fonction globalement höldérienne appartenant à $C^\alpha(\mathbb T)$, avec $0<\alpha\le1$, converge vers la fonction en tout point du cercle.

• Le test de Jordan affirme qu'une fonction L1 à variation bornée dans un voisinage de θ₀ possède une série de Fourier qui converge en θ₀ vers la demi-somme de ses limites latérales.

📖 12. Séries trigonométriques et Abel

★ À maîtriser

• Toute série de Fourier d'une fonction L1 a des coefficients qui tendent vers zéro par le lemme de Riemann-Lebesgue, mais cette condition n'est pas suffisante pour qu'une série trigonométrique soit une série de Fourier.

📌 Le critère d'Abel assure la convergence de $\sum a_kb_k$ lorsque $a_k$ est positive, décroissante et tend vers zéro, tandis que les sommes partielles de $b_k$ sont bornées.

Compléments

• La série trigonométrique $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(n\theta)}{\log n}$ converge en tout point de $\mathbb T$, car ses sommes partielles de sinus sont bornées et $1/\log n$ décroît vers zéro.

📐 Formule — Les sommes partielles de sinus vérifient, pour $\theta\not\equiv0\pmod{2\pi}$, $\left|\sum_{n=p}^{q}\sin(n\theta)\right|\le\frac{1}{|\sin(\theta/2)|}$.

• On a $\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k\log k}\sim\log\log n$, quantité qui tend vers l'infini.

💡 Astuce mémo

Coefficients décroissants + sommes partielles bornées ⇒ convergence

📖 13. Critère d’Abel et théorème de Bernstein

★ À maîtriser

• Le critère d’Abel assure la convergence d’une série lorsque les sommes partielles des premiers facteurs sont uniformément bornées et que les seconds facteurs sont décroissants vers zéro.

• La série $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}$ diverge et ses sommes partielles vérifient $\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k\log k}\sim\log\log n$.

📌 Toute fonction continue dont la série de Fourier converge normalement, c’est-à-dire lorsque $\sum_{k\in\mathbb Z}|\widehat f(k)|<\infty$, est égale en tout point à sa série de Fourier.

📌 Si une fonction continue 2π-périodique vérifie $|f(\theta'')-f(\theta')|\le K|\theta''-\theta'|^{\alpha}$ avec $1/2<\alpha\le1$, alors sa série de Fourier converge normalement vers f.

Compléments

• Pour tout θ qui n’est pas congru à 0 modulo π, les sommes partielles de la suite $\sum_{n=p}^{q}\sin(n\theta)$ sont uniformément bornées, tandis que $1/\log n$ décroît vers zéro ; la série $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(n\theta)}{\log n}$ converge donc par le critère d’Abel.

📐 Formule — Dans la preuve de Bernstein, pour $g_h(\theta)=f(\theta+h)-f(\theta-h)$, on obtient $\widehat{g_h}(k)=2i\sin(kh)\widehat f(k)$.

💡 Astuce mémo

Décroissance des coefficients + sommes partielles bornées ⇒ convergence

📖 14. Contre-exemple de du Bois-Reymond

★ À maîtriser

• Il existe une fonction continue $g_{BR}\in C^0(\mathbb T)$ et une suite d’entiers $K_j$ telles que $S_{2K_j}(g_{BR})(0)\to-\infty$.

• Les sommes négatives $\sum_{k=-K}^{-1}e^{ik\theta}/k$ ne sont pas uniformément bornées, car leur valeur en θ=0 vaut $-\sum_{k=1}^{K}1/k=-\log K-\gamma_{Euler}+o(1)$.

• La fonction $g_{BR}(\theta)=\sum_{j=1}^{\infty}j^{-2}P_{K_j}(\theta)$ est continue, car la série converge normalement grâce à $\sum_{j=1}^{\infty}j^{-2}=\pi^2/6$ et à la majoration uniforme des $P_{K_j}$.

Compléments

• Pour isoler la partie négative, on translate les fréquences du polynôme $f_K(\theta)=\sum_{1\le|k|\le K}e^{ik\theta}/k$ en posant $P_K(\theta)=e^{i2K\theta}f_K(\theta)$.

📌 Si les entiers vérifient $K_{j+1}>3K_j$, les blocs de fréquences des polynômes $P_{K_j}$ ne se mélangent pas.

• Avec $K_j=3^{2^j}$, le terme négatif sélectionné en θ=0 est de l’ordre de $-j^{-2}\log(K_j)$ et tend vers $-\infty$.

📖 15. Sommation d’Abel et noyau de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommabilité d’Abel : Une série $\sum_{k\ge1}c_k$ est sommable au sens d’Abel si, pour tout $0\le r<1$, la série $A(r)=\sum_{k=1}^{\infty}c_kr^k$ converge et si $A(r)$ admet une limite finie lorsque $r\to1^-$.
• Noyau de Poisson : De paramètre $0\le r<1$ est la fonction $P_r(\theta)=\sum_{k\in\mathbb Z}r^{|k|}e^{ik\theta}=\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}$.

📝 Points essentiels

• Pour toute série, la convergence classique implique la sommabilité de Cesàro, qui implique elle-même la sommabilité d’Abel ; aucune de ces implications n’est réversible en général.

📐 Formule — Pour toute fonction $f\in L^1(\mathbb T)$, sa somme d’Abel s’écrit comme une convolution : $A_r(f)(\theta)=\sum_{k\in\mathbb Z}r^{|k|}\widehat f(k)e^{ik\theta}=f*P_r(\theta)$.

📌 Les noyaux de Poisson sont positifs, 2π-périodiques, d’intégrale totale égale à 1, et tendent uniformément vers zéro en dehors de tout voisinage de zéro lorsque $r\to1^-$.

📌 Pour toute fonction continue 2π-périodique f, on a $\|f-f*P_r\|_{C^0(\mathbb T)}\to0$ lorsque $r\to1^-$ ; de même, pour $1\le p<\infty$ et $f\in L^p(\mathbb T)$, $\|f-f*P_r\|_{L^p(\mathbb T)}\to0$.

💡 Astuce mémo

Abel → Poisson → convolution → convergence

📖 16. Fonction en dents de scie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction en dents de scie : 2π-périodique est définie par $f_{DS}(\theta)=i(\pi-\theta)$ pour $0\le\theta\le\pi$ et $f_{DS}(\theta)=i(-\pi-\theta)$ pour $-\pi\le\theta\le0$.

★ À maîtriser

• La fonction en dents de scie est impaire, son coefficient de Fourier d’indice zéro est nul et, pour tout $k\in\mathbb Z^*$, son coefficient vaut $\widehat f_{DS}(k)=1/k$.

📐 Formule — Les sommes partielles de Fourier de la fonction en dents de scie sont $S_K(f_{DS})(\theta)=\sum_{1\le|k|\le K}e^{ik\theta}/k$.

📌 Si $\sup_{0\le r<1}|\sum_{k=1}^{\infty}c_kr^k|\le A$ et $\sup_{k\ge1}k|c_k|\le M$, alors $\sup_{K\ge1}|\sum_{k=1}^{K}c_k|\le A+2M$.

Compléments

• La sommation d’Abel donne, pour tout $0\le r<1$, $|\sum_{k\in\mathbb Z^*}r^{|k|}e^{ik\theta}/k|=|(f_{DS}*P_r)(\theta)|\le\pi$.

📖 17. Équidistribution des suites irrationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie fractionnaire : D’un réel x est $\langle x\rangle=x-[x]$, où $[x]$ est sa partie entière, et elle appartient à $[0{,}1[$.
• Équidistribution : Une suite $(\xi_k)$ dans $[0{,}1[$ est équidistribuée si, pour tous $0\le a<b<1$, $\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{Card}\{1\le k\le n:\xi_k\in[a,b]\}}{n}=b-a$.

📝 Points essentiels

📌 Si $\gamma\in\mathbb Q$, la suite $\langle k\gamma\rangle$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs et est périodique, tandis que si $\gamma\notin\mathbb Q$, toutes ses valeurs sont distinctes.

• Pour tout irrationnel $\gamma$, la suite des parties fractionnaires $\langle\gamma\rangle,\langle2\gamma\rangle,\langle3\gamma\rangle,\ldots$ est équidistribuée et donc dense dans $[0{,}1[$.

📐 Formule — Pour toute fonction continue 1-périodique f et tout irrationnel γ, on a $\frac1n\sum_{k=1}^{n}f(k\gamma)\longrightarrow\int_0^1f(x)\,dx$.

📌 Le critère de Weyl affirme qu’une suite $(\xi_k)$ de $[0{,}1[$ est équidistribuée si et seulement si, pour tout $\ell\in\mathbb Z^*$, $\frac1n\sum_{k=1}^{n}e^{2i\pi\ell\xi_k}\to0$.

💡 Astuce mémo

Rationnel : répétition ; irrationnel : répartition uniforme

📖 18. Fonction continue partout non dérivable

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de Weierstrass lacunaire : Pour $0<\alpha<1$, la série $f_\alpha(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n\alpha}e^{i2^n\theta}$ converge normalement et définit une fonction continue.
• Équidistribution : Une suite de nombres réels de $[0{,}1[$ est équidistribuée lorsque ses valeurs se répartissent asymptotiquement uniformément dans cet intervalle.
• Fonction de Lebesgue : Pour $0<\alpha<1$, la fonction $f_\alpha(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n\alpha}e^{i2^n\theta}$ est continue par convergence normale, mais elle n’admet de dérivée en aucun point.
• Fonction de Lebesgue : La fonction $L(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\sin(2^{n^2}x)$ est continue et $2\pi$-périodique par convergence normale, mais elle n’est dérivable en aucun point.

★ À maîtriser

• Pour une rotation irrationnelle $\rho(\theta)=\theta+2\pi\gamma$ avec $\gamma\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, la moyenne temporelle $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f(\rho^k(\theta))$ existe pour tout $\theta$ et égale la moyenne spatiale $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\,d\theta$.

• Les moyennes de Fejér sont définies par $\sigma_n(f)=\frac1n\sum_{\ell=0}^{n-1}S_\ell(f)$, tandis que les moyennes retardées sont $\Delta_n(f)=2\sigma_{2n}(f)-\sigma_n(f)$.

📌 Si une fonction continue $g$ est dérivable en $\theta_0$, alors les dérivées de ses sommes de Fejér et de ses moyennes retardées vérifient $\sigma_n(g)'(\theta_0)=O(\log n)$ et $\Delta_n(g)'(\theta_0)=O(\log n)$.

• Pour la série lacunaire $f_\alpha$, on a $\Delta_{2^n}(f)=S_{2^n}(f)$ et $\Delta_{2^n}(f)-\Delta_{2^{n-1}}(f)=2^{-n\alpha}e^{i2^n\theta}$.

📐 Formule — La dérivée de cette différence a pour module $2^{n(1-\alpha)}$, qui ne peut pas être majoré par une constante fois $\log(2^n)$ lorsque $0<\alpha<1$.

Compléments

• Les seules fréquences présentes dans la série de $f_\alpha$ sont les puissances de deux $k=2^n$, ce qui rend sa série de Fourier lacunaire.

• Pour un rationnel irréductible $p/q$ avec $q>0$, la suite des parties fractionnaires $\langle kp/q\rangle$ se répartit sur les $q$ points $0{,}1/q,2/q,\ldots,(q-1)/q$, chaque point ayant une fréquence limite égale à $1/q$.

• La suite des parties fractionnaires de $((1+\sqrt5)/2)^k$ n’est pas équidistribuée dans $[0{,}1[$, comme le suggère la relation de Fibonacci vérifiée par $u_k=((1+\sqrt5)/2)^k+((1-\sqrt5)/2)^k$.

• La série définissant $f_\alpha$ est lacunaire, car elle ne contient que les fréquences $2^n$, qui sont les puissances de deux.

📐 Formule — Pour tout point $x$, il existe une suite $h_m\to0$ telle que $\lim_{m\to\infty}\left|\frac{L(x+h_m)-L(x)}{h_m}\right|=\infty$.

📐 Formule — Le noyau de Fejér vérifie $F_n(t)=\sum_{|k|\le n}\left(1-\frac{|k|}{n}\right)e^{ikt}=\frac1n\left(\frac{\sin(nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2$.

📊 Tableaux de synthèse

Types de convergence des séries de Fourier

Comparaison des noyaux