Qu'est-ce que le tore unidimensionnel ?
Le cercle unité S^1 identifié à ℝ/2πℤ.
Que vaut l'intégrale d'une fonction 2π-périodique sur un intervalle de longueur 2π ?
Elle est indépendante de la position de l'intervalle.
Quelle est la formule du produit scalaire dans L²(T) ?
C'est l'intégrale de f(θ) fois la conjugaison de g(θ) sur [-π,π] divisée par 2π.
Comment s'exprime le k-ième coefficient de Fourier pour f dans L¹(T) ?
C'est l'intégrale de f(θ) fois sur [-π,π] divisée par 2π.
Tore unidimensionnel
Cercle unité, identique à .
Espace
Fonctions mesurables p-périodiques intégrables au p-ième.
Norme
Inclusion
Dans , puis dans .
Fonctions classiques dans
Continue, intégrable, et bornée.
Propriété intégrale témoin périodicité
L’intégrale sur 2π est invariante par translation.
Histoire convergence Fourier
Résultats clés : Dirichlet, Carleson.
Teste tes connaissances avec un QCM de 11 questions sur Séries de Fourier sur le cercle.
1. Quelle description du tore unidimensionnel est correcte ?
2. Pour quelle condition une fonction mesurable appartient-elle à , avec ?
Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Séries de Fourier sur le cercle.
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