Qu'est-ce qu'une suite réelle ?
Une fonction u : N → R notée .
Quelle condition définit la convergence d'une suite vers ℓ ?
Pour tout ε > 0, il existe N ≥ 0 tel que pour n ≥ N, |u_n − ℓ| ≤ ε.
Quand une suite est-elle monotone ?
Si elle est croissante ou décroissante.
Quelle inégalité caractérise une suite croissante ?
≥ u_n.
Quand une suite croissante converge-t-elle ?
Si et seulement si elle est majorée.
Quelle est la limite d'une suite croissante convergente ?
La limite est .
Quelles conditions définissent deux suites adjacentes ?
La première est croissante, la seconde décroissante, et leur différence tend vers 0.
Que vérifient deux suites adjacentes convergentes ?
Elles convergent vers la même limite ℓ avec u_n ≤ ℓ ≤ v_n pour tout n.
Qu'est-ce qu'une suite de Cauchy ?
Une suite où pour tout ε>0, |u_p−u_q| ≤ ε pour p,q assez grands.
Quand une suite converge-t-elle dans R ?
Si et seulement si elle est de Cauchy.
Qu'est-ce qu'une fonction strictement contractante ?
Une fonction f avec un k<1 telle que |f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|.
Que produit la suite définie par u_0=x et pour f contractante ?
Une suite de Cauchy qui converge vers un point fixe.
Quelle propriété a le point fixe ℓ_x pour une fonction strictement contractante ?
Il est unique.
Quel théorème est associé à la convergence de la suite pour une fonction contractante ?
Le théorème du point fixe de Picard.
Qu'est-ce qu'une série numérique ?
Une suite des sommes partielles d'un terme général .
Quelle formule donne la somme partielle de la série géométrique pour ?
.
Que vaut la somme partielle de la série géométrique pour ?
.
Quelle condition caractérise la convergence de la série géométrique ?
Elle converge si et seulement si .
Quelle est la somme de la série géométrique convergente ?
.
Que se passe-t-il pour la série géométrique si ?
Elle diverge vers .
Que vaut la limite du terme général d'une série convergente ?
Elle converge vers 0.
Quelle série montre que la réciproque de "terme général tend vers 0" est fausse ?
La série harmonique .
Qu'est-ce qu'une série à termes positifs ?
Une série dont chaque terme u_n est supérieur ou égal à zéro.
Quand une série à termes positifs converge-t-elle ?
Si et seulement si sa suite de sommes partielles est majorée.
Pour quelle valeur de α la série de Riemann ∑1/n^α converge-t-elle ?
Elle converge si α est strictement supérieur à 1.
Que se passe-t-il pour la série harmonique α=1 ?
Elle diverge à vitesse logarithmique.
Que signifie u_n=O(v_n) pour deux séries à termes positifs ?
Qu'u_n est bornée par une constante fois v_n pour n grand.
Que déduit-on si ∑v_n converge et u_n=O(v_n) ?
Alors la série ∑u_n converge aussi.
Que dit le critère de d’Alembert pour une série à termes strictement positifs ?
Si , la série converge si ℓ<1 et diverge si ℓ>1.
Que dit le critère de Cauchy pour une série à termes strictement positifs ?
Si , la série converge si ℓ<1 et diverge si ℓ>1.
Qu'est-ce qu'une série absolument convergente ?
Une série dont la série des valeurs absolues converge.
Quelle propriété relie convergence absolue et convergence ?
Toute série absolument convergente est convergente.
Comment se définit une série alternée ?
Une série dont le terme général est avec positif.
Sous quelles conditions une série alternée converge-t-elle ?
Si est décroissante, positive et tend vers 0.
Que peut-on dire de la somme de deux séries convergentes ?
Elle est convergente.
Quand le produit de convolution de deux séries est-il convergent ?
Si l’une des deux séries est absolument convergente.
Qu'est-ce qu'une série double de terme général ?
C'est la famille des sommes rectangulaires .
Que peut-on faire avec les sommations d'une série double à termes positifs ?
On peut intervertir les deux sommations même si elles sont infinies.
Quelle condition suffit pour intervertir les sommations d'une série double générale ?
La condition suffit.
Quelle est la somme de la série double pour ?
Elle vaut .
Quelle inégalité relie et pour une suite positive ?
Pour toute suite positive (u_n) et entier p≥2, .
Que déduit-on si la série converge pour p≥2 ?
La série converge.
Quelle série converge pour illustrer la comparaison entre et ?
La série converge.
Quelle inégalité illustre la comparaison entre et ?
On a .
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1. Quelle description définit correctement une suite réelle $(u_n)_{n\ge 0}$ ?
2. Quelle condition exprime qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel ?
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