Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Suites et convergence
2. Critère de Cauchy et point fixe
3. Définitions et séries classiques
4. Séries à termes positifs
5. Séries générales
6. Séries doubles
7. Applications aux puissances

📖 1. Suites et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : fonction u : N → R, généralement notée (u_n)_{n≥0}
• Convergence d’une suite : Une suite (u_n) converge vers ℓ ∈ R si, pour tout ε > 0, il existe N ≥ 0 tel que, pour tout n ≥ N, |u_n − ℓ| ≤ ε.
• Suite monotone : Une suite est croissante si u_{n+1} ≥ u_n, décroissante si u_{n+1} ≤ u_n, et monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si la première est croissante, la seconde décroissante et leur différence converge vers 0.

📝 Points essentiels

📌 Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée, et sa limite est sup_{n≥0} u_n ; une suite décroissante converge si et seulement si elle est minorée.

📌 Deux suites adjacentes convergent vers une même limite ℓ et vérifient u_n ≤ ℓ ≤ v_n pour tout n ≥ 0.

💡 Astuce mémo

Suite monotone bornée, suite de Cauchy sans limite connue

📖 2. Critère de Cauchy et point fixe

🔑 Notions clés & Définitions