QCM : Séries numériques — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une suite réelle $(u_n)_{n\ge 0}$ ?

Une fonction de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}
Une application de N\mathbb{N} vers N\mathbb{N}
Une fonction de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N}
Une collection finie de nombres réels

Une fonction de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$

Explication

Une suite réelle associe à chaque entier naturel un nombre réel, ce qui se note comme une fonction u:N→Ru:\mathbb{N}\to\mathbb{R}. Une application ayant un autre domaine ou un autre codomaine ne correspond pas à cette définition.

2. Quelle condition exprime qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel ℓ\ell ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe NN tel que ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\le\varepsilon pour tout n≥Nn\ge N
Pour tout entier nn, on a ∣un−ℓ∣≤n|u_n-\ell|\le n
La suite devient nécessairement croissante à partir d’un certain rang
Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\le\varepsilon pour tout entier nn

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$N$$ tel que $$|u_n-\ell|\le\varepsilon$$ pour tout $$n\ge N$$

Explication

La convergence signifie que les termes deviennent arbitrairement proches de la limite finie ℓ\ell à partir d’un certain rang. Une simple proximité avec une distance fixée ou la monotonie ne suffit pas à caractériser cette convergence.

3. Une suite croissante est-elle convergente dans quelle situation ?

Lorsqu’elle est non bornée, et sa limite vaut son supremum
Lorsqu’elle est minorée, et sa limite vaut son infimum
Lorsqu’elle est majorée, et sa limite vaut son supremum
Lorsqu’elle alterne, et sa limite vaut sa première valeur

Lorsqu’elle est majorée, et sa limite vaut son supremum

Explication

Une suite croissante converge exactement lorsqu’elle est majorée, et sa limite est alors sup⁡n≥0un\sup_{n\ge0}u_n. La minoration est la condition pertinente pour une suite décroissante, pas pour une suite croissante.

4. Que peut-on affirmer pour deux suites adjacentes $(u_n)$ et $(v_n)$ ?

Elles convergent vers deux limites distinctes avec un≤vnu_n\le v_n
Elles oscillent autour de zéro avec un+vn→0u_n+v_n\to0
Elles divergent vers des limites opposées avec vn≤ℓ≤unv_n\le\ell\le u_n
Elles convergent vers une même limite ℓ\ell avec un≤ℓ≤vnu_n\le\ell\le v_n

Elles convergent vers une même limite $$\ell$$ avec $$u_n\le\ell\le v_n$$

Explication

Deux suites adjacentes possèdent une même limite et encadrent cette limite selon un≤ℓ≤vnu_n\le\ell\le v_n. Leurs limites ne sont donc pas distinctes et leur comportement n’est pas défini par une oscillation autour de zéro.

5. Quelle propriété caractérise une suite de Cauchy ?

Ses termes deviennent tous égaux à partir d’un certain rang
Ses termes deviennent croissants après un certain rang
Ses termes deviennent proches d’une limite connue après un certain rang
Ses termes deviennent proches deux à deux après un certain rang

Ses termes deviennent proches deux à deux après un certain rang

Explication

Une suite de Cauchy vérifie que, pour tout ε>0\varepsilon>0, les termes upu_p et uqu_q sont à distance au plus ε\varepsilon dès que pp et qq sont suffisamment grands. La convergence compare au contraire un terme à une limite déjà identifiée.

6. Dans R\mathbb{R}, quel énoncé relie convergence et propriété de Cauchy ?

Toute suite de Cauchy diverge vers l’infini
Une suite converge si elle est monotone, sans condition de bornitude
Une suite est de Cauchy dès qu’elle possède deux sous-suites
Une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy

Une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy

Explication

La complétude de R\mathbb{R} garantit l’équivalence entre être de Cauchy et converger. La monotonie ou l’existence de sous-suites ne fournit pas à elle seule cette caractérisation.

7. Quelle inégalité définit une fonction strictement contractante f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ?

Il existe k\in[0,1[\,$ tel que ∣f(x)−f(y)∣≥|f(x)-f(y)|\ge k|x-y|pourtous pour tous x,y$$
Il existe k\in[0,1[\,$ tel que ∣f(x)−f(y)∣≤|f(x)-f(y)|\le k|x-y|pourtous pour tous x,y$$
Il existe k≥1k\ge1 tel que ∣f(x)−f(y)∣≥k∣x−y∣|f(x)-f(y)|\ge k|x-y| pour tous x,yx,y
Il existe k∈Rk\in\mathbb{R} tel que f(x)−f(y)=k(x+y)f(x)-f(y)=k(x+y) pour tous x,yx,y

Il existe $$k\in[0,1[\,$ tel que $$$$|f(x)-f(y)|\le$$ k|x-y|$$ pour tous $$x,y$$

Explication

Une contraction réduit les distances d’un facteur uniforme k<1k<1, selon l’inégalité ∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣|f(x)-f(y)|\le k|x-y|. Une minoration des distances ou un facteur au moins égal à un ne décrit pas une contraction.

8. Pour une fonction strictement contractante et la suite définie par u0=xu_0=x et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), quel résultat est assuré ?

La suite devient périodique autour de chaque point fixe
La suite converge vers un point fixe qui dépend de la valeur initiale
La suite diverge dès que xx est différent d’un point fixe
La suite converge vers l’unique point fixe de ff

La suite converge vers l’unique point fixe de $$f$$

Explication

Le théorème du point fixe de Picard assure que la suite itérée est de Cauchy, converge et atteint l’unique point fixe de la contraction. La valeur initiale peut modifier les termes intermédiaires, mais pas le point fixe final.

9. Comment définit-on la série de terme général $(u_n)$ ?

Comme une somme finie indépendante de l’indice maximal
Comme la suite des produits partiels ∏k=0nuk\prod_{k=0}^{n}u_k
Comme la suite des sommes partielles Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^{n}u_k
Comme le seul terme limite lim⁡n→∞un\lim_{n\to\infty}u_n

Comme la suite des sommes partielles $$S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$$

Explication

Une série est la suite de ses sommes partielles Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^{n}u_k, et elle converge lorsque cette suite converge. La limite éventuelle de ces sommes est la somme de la série, tandis que les produits partiels définissent une autre construction.

10. Pour x≠1x\ne1, quelle formule donne la somme partielle ∑k=0nxk\sum_{k=0}^{n}x^k ?

1−xn+11+x\frac{1-x^{n+1}}{1+x}
1−xn1−x\frac{1-x^n}{1-x}
xn+1−11−x\frac{x^{n+1}-1}{1-x}
1−xn+11−x\frac{1-x^{n+1}}{1-x}

$$\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$

Explication

La formule géométrique correcte est Sn=1−xn+11−xS_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} pour x≠1x\ne1. L’exposant doit être n+1n+1, car la somme contient les puissances de x0x^0 à xnx^n.

11. Pour quelle condition la série géométrique ∑n≥0xn\sum_{n\ge0}x^n converge-t-elle, et quelle est alors sa somme ?

Elle converge si ∣x∣<1|x|<1 et sa somme vaut 11−x\frac{1}{1-x}
Elle converge si x≥1x\ge1 et sa somme vaut 11−x\frac{1}{1-x}
Elle converge si x≤−1x\le-1 et sa somme vaut 11+x\frac{1}{1+x}
Elle converge si ∣x∣>1|x|>1 et sa somme vaut 1x−1\frac{1}{x-1}

Elle converge si $$|x|<1$$ et sa somme vaut $$\frac{1}{1-x}$$

Explication

La série géométrique converge exactement lorsque ∣x∣<1|x|<1, avec somme 11−x\frac{1}{1-x}. Pour des valeurs de module supérieur ou égal à un, les puissances ne produisent pas une suite de sommes partielles convergente.

12. Quelle affirmation illustre correctement la condition nécessaire de convergence d’une série ?

La convergence de la série impose un→0u_n\to0, mais un→0u_n\to0 ne suffit pas
Toute suite de termes tendant vers zéro produit une série convergente
La divergence d’une série entraîne que son terme général tend vers zéro
La série harmonique converge parce que ses termes tendent vers zéro

La convergence de la série impose $$u_n\to0$$, mais $$u_n\to0$$ ne suffit pas

Explication

Si une série converge, son terme général doit tendre vers zéro, mais cette condition n’est pas suffisante. La série harmonique ∑n≥11n\sum_{n\ge1}\frac1n fournit précisément un contre-exemple, car ses termes tendent vers zéro alors que la série diverge.

13. Quelle condition caractérise une série à termes positifs ?

On a un>un+1u_n > u_{n+1} pour tout n≥0n \ge 0
On a un→0u_n \to 0 sans condition de signe
On a un≥0u_n \ge 0 pour tout n≥0n \ge 0
On a un≤0u_n \le 0 pour tout n≥0n \ge 0

On a $$u_n \ge 0$$ pour tout $$n \ge 0$$

Explication

Une série est dite à termes positifs lorsque chaque terme vérifie un≥0u_n \ge 0 pour tout indice considéré. La décroissance et la convergence vers zéro peuvent apparaître dans d’autres critères, mais ne définissent pas cette notion.

14. Pour une série à termes positifs, quelle condition équivaut à sa convergence ?

Son terme général est strictement décroissant
Son terme général est équivalent à une suite géométrique
Sa suite de sommes partielles est majorée
Sa suite de sommes partielles est minorée

Sa suite de sommes partielles est majorée

Explication

Les sommes partielles d’une série positive sont croissantes, donc leur majoration entraîne leur convergence et réciproquement. La décroissance du terme général ou une comparaison géométrique ne constitue pas la caractérisation générale demandée.

15. Pour quelle valeur du paramètre α\alpha la série de Riemann ∑n≥11nα\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha} converge-t-elle ?

Pour α<1\alpha<1
Pour α>1\alpha>1
Pour α≥0\alpha\ge 0
Pour α=1\alpha=1

Pour $$\alpha>1$$

Explication

La série de Riemann converge exactement lorsque α>1\alpha>1. Le cas α=1\alpha=1 est la série harmonique, qui diverge à vitesse logarithmique.

16. Une série à termes strictement positifs vérifie lim⁡n→∞un+1un=ℓ\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell avec ℓ=0,7\ell=0,7. Que conclut le critère de d’Alembert ?

La série converge
La série diverge
Le critère impose que la série soit alternée
Le critère impose que les sommes partielles soient constantes

La série converge

Explication

Comme ℓ<1\ell<1, le critère de d’Alembert assure la convergence de la série. La divergence est conclue dans le cas ℓ>1\ell>1, tandis que le cas limite ℓ=1\ell=1 n’est pas tranché par ce critère.

17. Que signifie la convergence absolue d’une série ∑un\sum u_n ?

La série ∑un\sum u_n converge sans que ∑∣un∣\sum |u_n| converge
La suite unu_n est décroissante vers zéro
La série ∑∣un∣\sum |u_n| converge
La série ∑un\sum u_n contient des termes de signes alternés

La série $$\sum |u_n|$$ converge

Explication

La convergence absolue signifie précisément que la série positive ∑∣un∣\sum |u_n| converge. Une convergence simple peut exister sans convergence absolue, comme pour certaines séries alternées.

18. Dans quelle situation le critère des séries alternées garantit-il la convergence de ∑(−1)nun\sum(-1)^n u_n ?

Lorsque unu_n est décroissante mais tend vers une limite positive
Lorsque unu_n est positive, décroissante et tend vers zéro
Lorsque unu_n change de signe et reste bornée
Lorsque unu_n est positive, croissante et tend vers zéro

Lorsque $$u_n$$ est positive, décroissante et tend vers zéro

Explication

Le critère garantit la convergence lorsque la suite unu_n est positive, décroissante et vérifie un→0u_n\to0. Une limite positive empêcherait notamment les termes de la série de tendre vers zéro.

19. Quelle forme possède le terme général d’une série alternée ?

(−1)nun(-1)^n u_n, avec un≥0u_n\ge0
unu_n, avec un≥0u_n\ge0
unnu_n^n, avec un≤0u_n\le0
(−1)n+un(-1)^n+u_n, avec un≥0u_n\ge0

$$(-1)^n u_n$$, avec $$u_n\ge0$$

Explication

Une série alternée est construite à partir d’une suite positive selon le terme général (−1)nun(-1)^n u_n, ce qui fait varier le signe. Une série à termes positifs ne présente pas cette alternance de signes.

20. Quelle implication est toujours vraie pour une série absolument convergente ?

Son terme général est positif
Elle est divergente par oscillation
Elle est convergente
Sa suite de sommes partielles est décroissante

Elle est convergente

Explication

La convergence de ∑∣un∣\sum|u_n| entraîne la convergence de ∑un\sum u_n. Elle ne force ni la positivité des termes ni la décroissance des sommes partielles.

21. Comment définit-on les sommes partielles d’une série double de terme général (ui,j)(u_{i,j}) ?

Par Sn,m=∑i=0n∑j=0mui,jS_{n,m}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m u_{i,j}
Par Sn,m=∑i=0nui,mS_{n,m}=\sum_{i=0}^n u_{i,m}
Par Sn=∑j=0nun,jS_n=\sum_{j=0}^n u_{n,j}
Par Sn=∑i=0nui,nS_n=\sum_{i=0}^n u_{i,n}

Par $$S_{n,m}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m u_{i,j}$$

Explication

Une série double utilise deux indices et ses sommes rectangulaires sont Sn,m=∑i=0n∑j=0mui,jS_{n,m}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m u_{i,j}. Les autres expressions ne prennent en compte qu’une ligne, une colonne ou une diagonale particulière.

22. Pourquoi peut-on intervertir les deux sommations d’une série double à termes positifs ?

La positivité garantit l’interversion, même lorsque les valeurs sont infinies
La décroissance des termes garantit une somme finie
La positivité rend les deux indices indépendants de la série
L’interversion est permise lorsque les indices sont égaux

La positivité garantit l’interversion, même lorsque les valeurs sont infinies

Explication

Pour des termes positifs, l’interversion des sommations est autorisée, y compris lorsque les deux valeurs obtenues sont infinies. Dans le cas général, une telle interversion peut modifier les limites ou nécessiter une condition supplémentaire.

23. Pour x,y∈[0,1[x,y\in[0,1[, quelle est la valeur de la série double ∑i≥0∑j≥0xiyj\sum_{i\ge0}\sum_{j\ge0}x^iy^j ?

11−x−y\frac{1}{1-x-y}
x+y(1−x)(1−y)\frac{x+y}{(1-x)(1-y)}
1(1−x)(1−y)\frac{1}{(1-x)(1-y)}
11−xy\frac{1}{1-xy}

$$\frac{1}{(1-x)(1-y)}$$

Explication

Chaque sommation est une série géométrique, de sommes respectives 11−x\frac{1}{1-x} et 11−y\frac{1}{1-y}; leur produit donne l’expression indiquée. La formule 11−xy\frac{1}{1-xy} correspond plutôt à une sommation diagonale en puissances de xyxy.

24. Pour une suite positive $(u_n)$ et un entier $p\ge 2$, quelle inégalité relie la somme des puissances à la puissance de la somme ?

∑n≥0unp≤(∑n≥0un)p\sum_{n\ge 0}u_n^p\le\left(\sum_{n\ge 0}u_n\right)^p
∑n≥0unp=(∑n≥0un)p+1\sum_{n\ge 0}u_n^p=\left(\sum_{n\ge 0}u_n\right)^{p+1}
∑n≥0unp≤p∑n≥0un\sum_{n\ge 0}u_n^p\le p\sum_{n\ge 0}u_n
∑n≥0unp≥(∑n≥0un)p\sum_{n\ge 0}u_n^p\ge\left(\sum_{n\ge 0}u_n\right)^p

$$\sum_{n\ge 0}u_n^p\le\left(\sum_{n\ge 0}u_n\right)^p$$

Explication

Pour des termes positifs et p≥2p\ge 2, le développement de la puissance de la somme contient notamment les termes unpu_n^p, ce qui donne l’inégalité indiquée. La comparaison inverse n’est pas la règle générale, car la puissance de la somme inclut aussi des termes croisés positifs.

25. Une série positive ∑unp\sum u_n^p converge pour un entier p≥2p\ge 2. Quelle conclusion peut-on tirer concernant ∑un\sum u_n ?

La série ∑un\sum u_n converge après élévation à la puissance p+1p+1.
La série ∑un\sum u_n possède la même somme.
La série ∑un\sum u_n converge également.
La série ∑un\sum u_n diverge nécessairement.

La série $$\sum u_n$$ converge également.

Explication

Le résultat présenté affirme que la convergence de ∑unp\sum u_n^p entraîne celle de ∑un\sum u_n lorsque p≥2p\ge 2. La réciproque n’est pas garantie, de sorte que la convergence de ∑un\sum u_n ne permet pas d’inverser automatiquement cette implication.

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Qu'est-ce qu'une suite réelle ?

Une fonction u : N → R notée (un)n≥0(u_n)_{n≥0}.

Quelle condition définit la convergence d'une suite vers ℓ ?

Pour tout ε > 0, il existe N ≥ 0 tel que pour n ≥ N, |u_n − ℓ| ≤ ε.

Quand une suite est-elle monotone ?

Si elle est croissante ou décroissante.

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