Fiche de révision : Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Suites et convergence
2. Critère de Cauchy et point fixe
3. Définitions et séries classiques
4. Séries à termes positifs
5. Séries générales
6. Séries doubles
7. Applications aux puissances

📖 1. Suites et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : fonction u : N → R, généralement notée (u_n)_{n≥0}
• Convergence d’une suite : Une suite (u_n) converge vers ℓ ∈ R si, pour tout ε > 0, il existe N ≥ 0 tel que, pour tout n ≥ N, |u_n − ℓ| ≤ ε.
• Suite monotone : Une suite est croissante si u_{n+1} ≥ u_n, décroissante si u_{n+1} ≤ u_n, et monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si la première est croissante, la seconde décroissante et leur différence converge vers 0.

📝 Points essentiels

📌 Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée, et sa limite est sup_{n≥0} u_n ; une suite décroissante converge si et seulement si elle est minorée.

📌 Deux suites adjacentes convergent vers une même limite ℓ et vérifient u_n ≤ ℓ ≤ v_n pour tout n ≥ 0.

💡 Astuce mémo

Suite monotone bornée, suite de Cauchy sans limite connue

📖 2. Critère de Cauchy et point fixe

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite (u_n) est de Cauchy si, pour tout ε > 0, il existe N ≥ 0 tel que |u_p − u_q| ≤ ε pour tous p,q ≥ N.
• Fonction contractante : Une fonction f : R → R est strictement contractante s’il existe k ∈ [0,1[ tel que |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| pour tous x,y ∈ R.

📝 Points essentiels

📌 Dans R, une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.

• Pour une fonction strictement contractante, la suite définie par u_0=x et u_{n+1}=f(u_n) est de Cauchy, converge vers un point fixe ℓ_x, et ce point fixe est unique. — Picard, Théorème du point fixe de Picard

💡 Astuce mémo

Contraction → suite de Cauchy → point fixe unique

📖 3. Définitions et séries classiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une série de terme général (u_n) est la suite des sommes partielles S_n = ∑_{k=0}^n u_k, et elle converge exactement lorsque cette suite converge.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour x ≠ 1, les sommes partielles de la série géométrique vérifient $S_n=\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$, tandis que S_n=n+1 si x=1.

📌 La série géométrique ∑_{n≥0}x^n converge si et seulement si |x|<1, avec somme $\sum_{n\ge0}x^n=\frac{1}{1-x}$, et elle diverge vers +∞ lorsque x≥1.

📌 Si une série converge, son terme général converge vers 0 ; la réciproque est fausse, comme le montre la série harmonique ∑_{n≥1}1/n, qui diverge.

💡 Astuce mémo

Les sommes partielles s’empilent comme des marches vers une limite

📖 4. Séries à termes positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Série à termes positifs : u_n ≥ 0 pour tout n ≥ 0

★ À maîtriser

• Une série à termes positifs converge si et seulement si sa suite de sommes partielles est majorée.

• Pour deux séries à termes positifs, u_n=O(v_n) et la convergence de ∑v_n impliquent la convergence de ∑u_n ; si ∑u_n diverge, alors ∑v_n diverge ; si u_n∼v_n, les deux séries sont de même nature.

• Selon le critère de d’Alembert, pour une série à termes strictement positifs telle que lim_{n→∞}u_{n+1}/u_n=ℓ, la série converge si ℓ<1 et diverge si ℓ>1.

• La série de Riemann ∑_{n≥1}1/n^α converge si et seulement si α>1, tandis que la série harmonique α=1 diverge à vitesse logarithmique.

Compléments

📌 Selon le critère de Cauchy, si lim_{n→∞}(u_n)^{1/n}=ℓ pour une série à termes strictement positifs, elle converge si ℓ<1 et diverge si ℓ>1.

💡 Astuce mémo

Majoraison → comparaison → d’Alembert/Cauchy → Riemann

📖 5. Séries générales

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : la série positive ∑|u_n| converge
• Série alternée : une série dont le terme général est (−1)^n u_n, où (u_n) est une suite à termes positifs

★ À maîtriser

📌 Toute série absolument convergente est convergente.

📌 Si (u_n) est décroissante, positive et converge vers 0, alors la série alternée ∑(−1)^n u_n converge.

Compléments

📌 La somme de deux séries convergentes est convergente, et leur produit de convolution est convergent si l’une des deux séries est absolument convergente.

💡 Astuce mémo

Convergence absolue contre convergence conditionnelle

📖 6. Séries doubles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série double : la famille des sommes rectangulaires S_{n,m}=∑{i=0}^n∑{j=0}^m u_{i,j}

★ À maîtriser

📌 Pour une série double à termes positifs, on peut intervertir les deux sommations, même si les deux valeurs sont infinies.

📌 Pour une série double générale, la condition ∑{i≥0}∑{j≥0}|a_{i,j}|<∞ suffit pour intervertir les deux sommations.

Compléments

• Pour x,y∈[0,1[, la série double de terme général x^i y^j vaut $\sum_{i\ge0}\sum_{j\ge0}x^iy^j=\frac{1}{(1-x)(1-y)}$.

💡 Astuce mémo

Positivité ou convergence absolue autorise l’interversion

📖 7. Applications aux puissances

★ À maîtriser

📌 Pour toute suite positive (u_n) et tout entier p≥2, on a $\sum_{n\ge0}u_n^p\le\left(\sum_{n\ge0}u_n\right)^p$.

Compléments

📌 Si la série positive ∑u_n^p converge pour un entier p≥2, alors la série ∑u_n converge.

• La convergence de ∑_{n≥1}1/n^2 et l’inégalité $\sum_{n\ge1}\frac1{n^4}\le\left(\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\right)^2$ illustrent cette comparaison.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de convergence des séries