QCM : Séries numériques : méthodes et critères — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour une suite $(u_n)$, quelle relation définit les sommes partielles associées à la série ?

Sn=unS_n=u_n
Sn=∑k=0n1ukS_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{u_k}
Sn=lim⁡k→nukS_n=\lim_{k\to n}u_k
Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^{n}u_k

$$S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$$

Explication

Les sommes partielles sont les sommes finies des termes jusqu’au rang $n$, donc Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. Confondre $S_n$ avec le terme général $u_n$ revient à oublier que la série est étudiée par l’intermédiaire de ses sommes partielles.

2. Si les sommes partielles vérifient Sn→SS_n\to S, quelle est la somme de la série associée ?

∑n=0+∞un=lim⁡n→∞un\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}u_n
∑n=0+∞un=S\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S
∑n=0+∞un=un\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=u_n
∑n=0+∞un=1S\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\frac{1}{S}

$$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S$$

Explication

La limite de la suite des sommes partielles donne directement la somme de la série : ∑n=0+∞un=S\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S. La limite éventuelle de $u_n$ ne fournit pas, à elle seule, la somme de la série.

3. Que peut-on conclure si le terme général $u_n$ d’une série ne tend pas vers zéro ?

La série diverge par divergence grossière.
La série possède une somme égale au premier terme.
La série converge vers la limite de $u_n$.
La série converge si les termes changent de signe.

La série diverge par divergence grossière.

Explication

La convergence d’une série impose nécessairement un→0u_n\to0; l’absence de cette condition entraîne donc la divergence grossière. Le changement de signe ne compense pas un terme général qui ne tend pas vers zéro.

4. Pour quelle condition portant sur $q$ la série géométrique ∑n=0+∞qn\sum_{n=0}^{+\infty}q^n converge-t-elle ?

∣q∣=1|q|=1
q≥0q\geq0
∣q∣<1|q|<1
∣q∣>1|q|>1

$$|q|<1$$

Explication

Une série géométrique converge précisément lorsque ∣q∣<1|q|<1, et sa somme vaut alors 11−q\frac{1}{1-q}. Les valeurs vérifiant ∣q∣≥1|q|\geq1 conduisent à la divergence, même lorsque $q$ est positif.

5. Pour quelle valeur de l’exposant la série de Riemann ∑n≥11nα\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^\alpha} converge-t-elle ?

Pour α>1\alpha>1.
Pour α<0\alpha<0.
Pour 0<α<10<\alpha<1.
Pour α=1\alpha=1.

Pour $$\alpha>1$$.

Explication

Le critère de la série de Riemann donne la convergence lorsque α>1\alpha>1. Le cas α=1\alpha=1 correspond à la série harmonique, qui diverge, tandis que les exposants plus petits ne satisfont pas le critère.

6. Si, à partir d’un certain rang, 0≤vn≤un0\leq v_n\leq u_n et si ∑vn\sum v_n diverge, que peut-on conclure pour ∑un\sum u_n ?

∑un\sum u_n diverge.
∑un\sum u_n converge absolument.
∑un\sum u_n a la même somme que ∑vn\sum v_n.
La convergence dépend de la valeur de u0u_0.

$$\sum u_n$$ diverge.

Explication

La suite $(u_n)$ minore à partir d’un certain rang les termes d’une série positive divergente, ce qui force ∑un\sum u_n à diverger. Une majoration par une série divergente ne suffirait pas à établir cette conclusion.

7. Dans le cas de termes positifs, quelle condition assure que deux suites $u_n$ et $v_n$ sont équivalentes et que leurs séries ont la même nature ?

unvn→0\frac{u_n}{v_n}\to0
un+vn→1u_n+v_n\to1
un−vn→1u_n-v_n\to1
unvn→1\frac{u_n}{v_n}\to1

$$\frac{u_n}{v_n}\to1$$

Explication

L’équivalence est définie par unvn→1\frac{u_n}{v_n}\to1; pour des termes positifs, cette relation préserve la nature convergente ou divergente des séries. Une limite nulle du quotient décrit une relation différente et ne constitue pas la définition de l’équivalence.

8. Dans quelle situation le critère intégral permet-il de comparer la nature de ∑f(n)\sum f(n) à celle de ∫+∞f(t) dt\int^{+\infty} f(t)\,dt ?

Lorsque ff est dérivable, oscillante et décroissante
Lorsque ff est négative, discontinue et croissante
Lorsque ff est bornée, périodique et positive
Lorsque ff est positive, continue et décroissante

Lorsque $$f$$ est positive, continue et décroissante

Explication

Le critère intégral repose sur la positivité, la continuité et la décroissance de ff, ce qui permet d’établir la même nature pour la série et l’intégrale. Une comparaison directe entre termes peut utiliser d’autres hypothèses, mais elle ne constitue pas ce critère intégral.

9. Quelle équivalence usuelle permet d’étudier le comportement de ln⁡(1+x)\ln(1+x) au voisinage de zéro ?

ln⁡(1+x)∼x2\ln(1+x)\sim x^2
ln⁡(1+x)∼ex−1\ln(1+x)\sim e^x-1
ln⁡(1+x)∼1x\ln(1+x)\sim \frac{1}{x}
ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x

$$\ln(1+x)\sim x$$

Explication

Au voisinage de zéro, le logarithme vérifie ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x, ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 11. L’équivalence avec x2x^2 correspondrait à un ordre de grandeur trop élevé, tandis que 1/x1/x ne tend pas vers zéro.

10. Quelle propriété caractérise la convergence absolue d’une série ∑un\sum u_n ?

Les termes unu_n sont positifs, donc ∑un\sum u_n converge
Les termes unu_n tendent vers zéro, donc ∑∣un∣\sum |u_n| converge
La série ∑un\sum u_n converge, donc ∑∣un∣\sum |u_n| converge
La série ∑∣un∣\sum |u_n| converge, donc ∑un\sum u_n converge

La série $$\sum |u_n|$$ converge, donc $$\sum u_n$$ converge

Explication

La convergence absolue est définie par la convergence de ∑∣un∣\sum |u_n| et elle entraîne la convergence de ∑un\sum u_n. La convergence simple ou la tendance des termes vers zéro ne suffit pas à assurer la convergence absolue.

11. Que peut-on conclure au sujet de la série ∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{n} ?

Elle converge, car la série harmonique des valeurs absolues converge
Elle converge absolument, car ses termes tendent vers zéro
Elle diverge, car ses termes changent de signe
Elle converge, mais sa convergence n’est pas absolue

Elle converge, mais sa convergence n’est pas absolue

Explication

L’alternance des signes permet la convergence de cette série, tandis que la série des valeurs absolues est ∑1/n\sum 1/n, qui diverge. Elle est donc convergente mais non absolument convergente.

12. Quelle condition suffit à assurer la convergence de la série alternée ∑(−1)nun\sum(-1)^n u_n ?

unu_n est positive, décroissante à partir d’un certain rang et tend vers zéro
unu_n est positive, croissante à partir d’un certain rang et tend vers zéro
unu_n change de signe, reste bornée et possède une limite non nulle
unu_n est négative, croissante à partir d’un certain rang et tend vers l’infini

$$u_n$$ est positive, décroissante à partir d’un certain rang et tend vers zéro

Explication

Le critère d’alternance exige que unu_n soit positive, décroissante à partir d’un certain rang et tende vers zéro. Une croissance des termes ou une limite non nulle ne fournit pas les conditions nécessaires à ce critère.

13. Pour une série dont le quotient vérifie L=lim⁡n→∞∣un+1un∣<1L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|<1, quelle conclusion donne le critère de d’Alembert ?

La série diverge parce que les termes diminuent
La série peut être étudiée par le seul signe des termes
La série possède nécessairement une somme nulle
La série converge absolument

La série converge absolument

Explication

Lorsque la limite du quotient est strictement inférieure à 11, le critère de d’Alembert assure la convergence absolue de la série. La décroissance des termes ne suffit pas à elle seule à conclure, et le critère ne renseigne pas sur une éventuelle somme nulle.

14. Que permet de conclure le critère de d’Alembert lorsque lim⁡n→∞∣un+1un∣=1\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=1 ?

La série converge absolument grâce à la valeur limite du quotient
Il ne permet pas de déterminer la nature de la série
La série diverge puisque le quotient atteint la valeur limite unitaire
La série converge conditionnellement dès que les termes alternent

Il ne permet pas de déterminer la nature de la série

Explication

Une limite égale à 11 rend le critère de d’Alembert muet : aucune conclusion générale ne peut être tirée sur la série. Des séries comme ∑1/n\sum 1/n et ∑1/n2\sum 1/n^2 illustrent que cette même limite peut correspondre à des natures différentes.

15. Dans le produit de Cauchy de ∑un\sum u_n et ∑vn\sum v_n, comment s’exprime le coefficient de rang nn ?

wn=∑k=0nukvn−kw_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k}
wn=∑k=0nukvkw_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_k
wn=unvnw_n=u_nv_n
wn=un+1vn−1w_n=u_{n+1}v_{n-1}

$$w_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k}$$

Explication

Le coefficient de rang nn est obtenu en additionnant tous les produits dont les indices totalisent nn, d’où la convolution ∑k=0nukvn−k\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k}. Le produit unvnu_nv_n ne prend en compte qu’un seul couple d’indices et ne constitue donc pas le coefficient général.

16. Sous quelle condition le produit de Cauchy de deux séries possède-t-il une somme égale au produit de leurs sommes ?

Lorsque les deux séries convergent après regroupement
Lorsque les deux séries ont des termes positifs
Lorsque les deux séries ont des sommes non nulles
Lorsque les deux séries convergent absolument

Lorsque les deux séries convergent absolument

Explication

La convergence absolue des deux séries garantit la convergence absolue du produit de Cauchy et permet d’identifier sa somme au produit des sommes. Une convergence ordinaire peut être insuffisante pour appliquer cette propriété.

17. Quelle démarche convient en premier lieu pour étudier la convergence d’une série numérique ?

Calculer immédiatement la somme exacte de la série
Chercher directement une primitive du terme général
Vérifier que son terme général tend vers zéro
Appliquer d’abord le critère de d’Alembert

Vérifier que son terme général tend vers zéro

Explication

La première vérification consiste à s’assurer que le terme général tend vers zéro, condition nécessaire de convergence. Le critère final dépend ensuite du signe, d’un équivalent ou d’un développement limité, ainsi que de la forme des termes.

18. Pourquoi une équivalence des termes peut-elle être insuffisante pour comparer deux séries à signes variables ?

Parce que les changements de signe peuvent modifier la nature des séries
Parce qu’une série alternée ne possède jamais de somme
Parce que l’équivalence ne concerne que les séries à termes positifs
Parce que les termes équivalents doivent avoir des signes opposés

Parce que les changements de signe peuvent modifier la nature des séries

Explication

Avec des changements de signe, des compensations peuvent produire des comportements différents malgré une équivalence des termes. Ainsi, (−1)n/n(-1)^n/\sqrt n et (−1)n/n+1/n(-1)^n/\sqrt n+1/n sont équivalents, mais les séries correspondantes n’ont pas la même nature.

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Comment sont définies les sommes partielles d'une suite (u_n) ?

Par Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^{n}u_k.

Quelle condition caractérise la convergence d'une série ∑n≥0un\sum_{n\geq0}u_n ?

La suite des sommes partielles (S_n) doit converger.

Que vaut la somme d'une série si Sn→SS_n\to S ?

La somme vaut ∑n=0+∞un=S\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S.

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