Fiche de révision : Séries numériques : méthodes et critères

📋 Plan du Cours

1. Définition et condition nécessaire
2. Séries de référence
3. Comparaison et équivalence
4. Intégrale et développements limités
5. Convergence absolue et alternance
6. Critère de d’Alembert
7. Produit de Cauchy
8. Méthode de reconnaissance au DS

📖 1. Définition et condition nécessaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommes partielles : sont définies par $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$, et la série $\sum_{n\geq0}u_n$ converge si et seulement si la suite (S_n) converge.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $S_n\to S$, alors la série converge et sa somme vaut $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S$.

📌 La convergence de $\sum u_n$ implique nécessairement que $u_n\to0$; si u_n ne tend pas vers zéro, la série diverge par divergence grossière.

💡 Astuce mémo

Terme général u_n ≠ somme partielle S_n

📖 2. Séries de référence

★ À maîtriser

📌 La série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et sa somme vaut $\frac{1}{1-q}$ dans ce cas.

📌 La série de Riemann $\sum_{n\geq1}\frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Compléments

• La série harmonique $\sum_{n\geq1}\frac1n$ diverge bien que son terme général tende vers zéro.

💡 Astuce mémo

Géométrique : |q|<1 ; Riemann : α>1

📖 3. Comparaison et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : Deux suites u_n et v_n sont équivalentes lorsque $\frac{u_n}{v_n}\to1$; pour des termes positifs, leurs séries ont alors la même nature.

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, $0\leq v_n\leq u_n$ et si $\sum v_n$ diverge, alors $\sum u_n$ diverge.

Compléments

📌 Si $u_n=O(v_n)$ et si $\sum v_n$ converge absolument, alors $\sum u_n$ converge absolument; la condition $u_n=o(v_n)$ permet aussi cette conclusion.

💡 Astuce mémo

Comparer → majorer/minorer → conclure

📖 4. Intégrale et développements limités

★ À maîtriser

📌 Si f est positive, continue et décroissante, alors $\sum f(n)$ et $\int^{+\infty}f(t)\,dt$ ont la même nature.

📐 Formule — Au voisinage de zéro, on utilise notamment $\sin x\sim x$, $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$, $\ln(1+x)\sim x$ et $e^x-1\sim x$.

Compléments

• La série $\sum_{n\geq2}\frac1{n\ln n}$ diverge, car l’intégrale associée a pour primitive $\ln(\ln t)$ et diverge vers +∞.

• Comme $\sin(1/n)\sim1/n$, la série $\sum\sin(1/n)$ diverge par comparaison avec la série harmonique.

💡 Astuce mémo

Terme compliqué → équivalent simple → série connue

📖 5. Convergence absolue et alternance

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : La série $\sum u_n$ est absolument convergente lorsque $\sum|u_n|$ converge; toute convergence absolue entraîne la convergence.

★ À maîtriser

• La série $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge mais n’est pas absolument convergente, car la série des valeurs absolues est la série harmonique divergente.

📌 Si u_n est positive, décroissante à partir d’un certain rang et tend vers zéro, alors la série alternée $\sum(-1)^nu_n$ converge.

Compléments

• La série $\sum\frac{(-1)^n}{n^{3/4}}$ converge par alternance mais n’est pas absolument convergente, car $\sum1/n^{3/4}$ diverge.

💡 Astuce mémo

Convergence absolue implique convergence, mais l’inverse est faux

📖 6. Critère de d’Alembert

★ À maîtriser

📌 Si $L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|$ existe, alors L<1 implique la convergence absolue et L>1 implique la divergence.

📌 Lorsque le critère de d’Alembert donne L=1, il ne permet aucune conclusion sur la nature de la série.

Compléments

• Pour $\sum1/n$ et $\sum1/n^2$, le quotient $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1, alors que la première diverge et la seconde converge.

💡 Astuce mémo

L<1 converge, L>1 diverge, L=1 ne conclut pas

📖 7. Produit de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de Cauchy : Le produit de Cauchy de $\sum u_n$ et $\sum v_n$ est la série $\sum w_n$ définie par $w_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k}$.

★ À maîtriser

📌 Si deux séries sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy converge absolument et sa somme est le produit de leurs sommes.

Compléments

• Pour |z|<1, le produit de Cauchy de la série géométrique avec elle-même donne $\frac1{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)z^n$.

💡 Astuce mémo

Convolution des coefficients → produit des sommes

📖 8. Méthode de reconnaissance au DS

★ À maîtriser

• 🔄 Pour étudier une série, on: vérifie si son terme général tend vers zéro, examine son signe, recherche un équivalent ou un développement limité si nécessaire, choisit le critère adapté

📌 Une équivalence des termes ne permet pas toujours de conclure pour les séries lorsque les signes varient; par exemple, $(-1)^n/\sqrt n$ et $(-1)^n/\sqrt n+1/n$ sont équivalents, mais leurs séries n’ont pas la même nature.

Compléments

📌 Pour les termes positifs, les méthodes principales sont Riemann, comparaison, équivalence, grand O ou petit o, intégrale et d’Alembert; pour les signes alternés, on vérifie la décroissance et la limite nulle.

• Les suites exponentielles décroissantes peuvent dominer les puissances: par exemple, $n^5e^{-\sqrt n}=o(1/n^2)$, ce qui permet de comparer la série à une série convergente.

💡 Astuce mémo

Terme nul → signe → équivalent → critère adapté

📊 Tableaux de synthèse

Critères principaux de convergence