Séries numériques : méthodes et critères

📋 Plan du Cours

1. Définition et condition nécessaire
2. Séries de référence
3. Comparaison et équivalence
4. Intégrale et développements limités
5. Convergence absolue et alternance
6. Critère de d’Alembert
7. Produit de Cauchy
8. Méthode de reconnaissance au DS

📖 1. Définition et condition nécessaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommes partielles : sont définies par $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$, et la série $\sum_{n\geq0}u_n$ converge si et seulement si la suite (S_n) converge.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $S_n\to S$, alors la série converge et sa somme vaut $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S$.

📌 La convergence de $\sum u_n$ implique nécessairement que $u_n\to0$; si u_n ne tend pas vers zéro, la série diverge par divergence grossière.

💡 Astuce mémo

Terme général u_n ≠ somme partielle S_n

📖 2. Séries de référence

★ À maîtriser

📌 La série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et sa somme vaut $\frac{1}{1-q}$ dans ce cas.

📌 La série de Riemann $\sum_{n\geq1}\frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Compléments