QCM : Séries statistiques à deux variables (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment représente-t-on une série statistique à deux variables dans un repère orthogonal ?

Par les points de coordonnées (xi ; yi)\left(x_i\ ;\ y_i\right) associés aux couples observés
Par une courbe reliant les valeurs successives d’une seule variable
Par des points de coordonnées (xi ; xi)\left(x_i\ ;\ x_i\right) pour chaque observation
Par une liste ordonnée des valeurs de yiy_i sans tenir compte de xix_i

Par les points de coordonnées $$\left(x_i\ ;\ y_i\right)$$ associés aux couples observés

Explication

Une série à deux variables associe chaque observation à un couple (xi ; yi)\left(x_i\ ;\ y_i\right), représenté par un point dans le repère. Une série portant sur une seule variable ne permet pas cette représentation par couples.

2. Que désigne le nuage de points associé à une série statistique à deux variables ?

L’ensemble des points représentant les couples observés
La droite choisie pour approcher la tendance générale
La courbe obtenue après calcul d’une fonction modèle
La liste des valeurs correspondant à la variable expliquée

L’ensemble des points représentant les couples observés

Explication

Le nuage de points est constitué de tous les points représentant les couples de la série. Une droite ou une courbe modèle sert à ajuster ce nuage, mais ne le définit pas.

3. Quel est l’objectif principal de l’ajustement d’un nuage de points ?

Modéliser le lien entre deux variables par une courbe proche des points
Remplacer chaque couple observé par une valeur moyenne
Décrire les données observées sans introduire de fonction
Classer les points selon leur distance à l’origine

Modéliser le lien entre deux variables par une courbe proche des points

Explication

L’ajustement consiste à observer la forme du nuage puis à choisir une fonction dont la courbe passe au plus près des points afin de modéliser le lien entre les variables. Le nuage lui-même décrit les données observées, sans constituer le modèle.

4. Dans quelle situation un ajustement affine paraît-il pertinent ?

Lorsque les valeurs augmentent à un rythme de plus en plus rapide
Lorsque les points forment une courbe nettement arrondie
Lorsque les points du nuage sont approximativement alignés
Lorsque les observations sont regroupées autour d’une valeur unique

Lorsque les points du nuage sont approximativement alignés

Explication

Un ajustement affine est adapté lorsque le nuage présente une tendance approximativement rectiligne. Un nuage nettement courbé suggère plutôt une autre famille de modèles.

5. Quelle expression modélise un ajustement affine ?

y=a bxy=a\,b^x
y=ax+by=ax+b
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c
y=a ln⁡(x)+by=a\,\ln(x)+b

$$y=ax+b$$

Explication

Un ajustement affine se modélise par une expression du premier degré, y=ax+by=ax+b. La présence d’un terme en x2x^2 caractérise plutôt un modèle parabolique.

6. Un modèle d’ajustement comporte un terme en x2x^2 sans terme de degré supérieur. À quelle famille appartient-il ?

À un ajustement logarithmique de la forme y=a ln⁡(x)+by=a\,\ln(x)+b
À un ajustement affine de la forme y=ax+by=ax+b
À un ajustement exponentiel de la forme y=a bxy=a\,b^x
À un ajustement parabolique de la forme y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

À un ajustement parabolique de la forme $$y=ax^2+bx+c$$

Explication

La forme y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c est celle d’un ajustement parabolique, car elle contient un terme du second degré. Un ajustement affine ne comporte pas de terme en x2x^2.

7. Quelle distinction décrit correctement les ajustements exponentiel et logarithmique ?

L’exponentiel traduit une variation de moins en moins rapide, tandis que le logarithmique traduit une variation très rapide
L’exponentiel et le logarithmique décrivent tous deux une variation à vitesse constante
L’exponentiel traduit une variation très rapide, tandis que le logarithmique traduit une variation de moins en moins rapide
L’exponentiel correspond à une tendance rectiligne, tandis que le logarithmique correspond à une tendance parabolique

L’exponentiel traduit une variation très rapide, tandis que le logarithmique traduit une variation de moins en moins rapide

Explication

Le modèle exponentiel est associé à une variation très rapide, alors que le modèle logarithmique décrit une variation qui devient progressivement moins rapide. Une tendance rectiligne relève plutôt d’un ajustement affine.

8. Que mesure le coefficient de détermination R2R^2 dans le cadre d’un ajustement ?

Le nombre de données utilisées pour construire le modèle
La pente de la droite d’ajustement, avec une valeur exprimée en unités de y
L’écart entre la plus grande et la plus petite valeur observée
La pertinence de l’ajustement, avec une valeur comprise entre 0 et 1

La pertinence de l’ajustement, avec une valeur comprise entre 0 et 1

Explication

Le coefficient R2R^2 évalue la pertinence d’un ajustement et prend une valeur comprise entre 0 et 1. Une valeur proche de 1 ne représente pas une pente ou un écart entre les observations, mais une meilleure adéquation du modèle.

9. Parmi les ajustements appliqués aux données de Lily et Mia, lequel est le plus pertinent d’après son coefficient de détermination ?

L’ajustement logarithmique, avec R2=0,748R^2=0,748
L’ajustement linéaire, avec R2=0,901R^2=0,901
L’ajustement exponentiel, avec R2=0,984R^2=0,984
L’ajustement parabolique, avec R2=0,996R^2=0,996

L’ajustement parabolique, avec $$R^2=0,996$$

Explication

L’ajustement parabolique est le plus pertinent, car son coefficient R2=0,996R^2=0,996 est le plus proche de 1. L’ajustement exponentiel est également adapté, mais sa valeur 0,9840,984 est légèrement inférieure.

10. Quelle démarche permet d’obtenir une prévision de y à partir d’une valeur donnée de x ?

Lire directement la valeur correspondante parmi les observations disponibles
Choisir l’ajustement pertinent puis utiliser son équation pour calculer y
Remplacer x par sa moyenne sans tenir compte du modèle retenu
Calculer la différence entre les valeurs extrêmes de la série observée

Choisir l’ajustement pertinent puis utiliser son équation pour calculer y

Explication

Une prévision consiste à sélectionner le modèle pertinent et à utiliser son équation pour calculer la valeur recherchée de y. Une lecture directe fournit une valeur observée, tandis qu’une moyenne ou une différence ne constitue pas une application du modèle.

11. Quelle estimation l’ajustement parabolique fournit-il pour le nombre de clients au douzième mois chez Lily et Mia ?

Environ 377,44 clients
Environ 12,2 clients
Environ 96,4 clients
Environ 149,2 clients

Environ 377,44 clients

Explication

L’équation parabolique y=3,94x2−3,96x+12,2y=3,94x^2-3,96x+12,2 conduit à une estimation d’environ 377,44 clients au douzième mois. Cette valeur est une prévision calculée par le modèle, contrairement aux données observées des six premiers mois.

12. Comment le nombre de nouvelles contaminations en Italie a-t-il évolué entre le 21 février et le 8 mars 2020 ?

Il est resté proche de 17, ce qui traduit une évolution stable
Il est passé de 17 à environ 150, ce qui traduit une hausse modérée
Il est passé de 1492 à 17, ce qui traduit une forte diminution
Il est passé de 17 à 1492, ce qui traduit une forte augmentation

Il est passé de 17 à 1492, ce qui traduit une forte augmentation

Explication

Le nombre de nouvelles contaminations est passé de 17 le 21 février 2020 à 1492 le 8 mars 2020, indiquant une augmentation très importante. Cette évolution ne correspond ni à une diminution ni à une progression stable ou modérée.

13. Pourquoi l’ajustement exponentiel est-il plus adapté que l’ajustement affine pour décrire les contaminations en Italie ?

Il rend mieux compte d’une croissance très rapide lorsque les points ne sont pas alignés
Il représente mieux une relation où les contaminations restent proches d’une valeur fixe
Il convient davantage lorsque les variations diminuent progressivement au fil du temps
Il impose une progression régulière lorsque les points suivent une même droite

Il rend mieux compte d’une croissance très rapide lorsque les points ne sont pas alignés

Explication

L’ajustement exponentiel est adapté parce que les contaminations augmentent très rapidement et que les points ne sont pas alignés. Un ajustement affine correspond plutôt à une évolution représentable par une droite, ce qui ne décrit pas correctement cette situation.

14. Dans l’exercice sur les véhicules hybrides, quelle équation et quel coefficient de détermination caractérisent l’ajustement affine obtenu ?

y=24,8x+5,13y=24,8x+5,13 avec R2=0,991R^2=0,991
y=−24,8x−5,13y=-24,8x-5,13 avec R2=0,903R^2=0,903
y=24,8x−5,13y=24,8x-5,13 avec R2=0,991R^2=0,991
y=24,8x−5,13y=24,8x-5,13 avec R2=0,821R^2=0,821

$$y=24,8x-5,13$$ avec $$R^2=0,991$$

Explication

L’ajustement affine s’écrit y=24,8x−5,13y=24,8x-5,13 et son coefficient de détermination est 0,9910,991, ce qui indique une forte adéquation aux données. La valeur 0,8210,821 appartient à l’ajustement parabolique d’un autre exercice, tandis que les autres propositions modifient l’équation ou associent une mauvaise valeur.

15. Pour les abonnements annuels, quel modèle possède le coefficient de détermination le plus élevé ?

L’ajustement logarithmique, avec R2=0,903R^2=0,903
L’ajustement parabolique, avec R2=0,903R^2=0,903
L’ajustement logarithmique, avec R2=0,821R^2=0,821
L’ajustement affine, avec R2=0,991R^2=0,991

L’ajustement logarithmique, avec $$R^2=0,903$$

Explication

Le modèle logarithmique est retenu parce qu’il atteint le coefficient de détermination le plus élevé, soit R2=0,903R^2=0,903. La valeur 0,8210,821 correspond au modèle parabolique, tandis que 0,9910,991 est associée à l’exercice sur les véhicules hybrides.

Révisez avec les flashcards

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Qu'associe une série statistique à deux variables ?

Des valeurs (xᵢ, yᵢ).

Comment se représente une série statistique à deux variables dans un repère ?

Par des points de coordonnées (xᵢ ; yᵢ).

Qu'est-ce que le nuage de points en statistique ?

L'ensemble des points représentant les couples (xᵢ ; yᵢ).

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