Fiche de révision : Séries statistiques à deux variables

📋 Plan du Cours

1. Série statistique à deux variables
2. Principe de l’ajustement
3. Familles de modèles d’ajustement
4. Coefficient de détermination
5. Prévisions par ajustement
6. Application aux contaminations
7. Exercices de modélisation

📖 1. Série statistique à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique à deux variables : Associe des valeurs (xᵢ, yᵢ) et se représente par les points de coordonnées (xᵢ ; yᵢ) dans un repère orthogonal.
• Nuage de points : Ensemble des points représentant les couples (xᵢ ; yᵢ) d’une série statistique à deux variables.

📝 Points essentiels

• Pour Lily et Mia, les rangs des mois sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6, tandis que les nombres de clients sont respectivement 14, 19, 26, 37, 58 et 87.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points dans un repère, chaque point portant les coordonnées (xᵢ, yᵢ).

📖 2. Principe de l’ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Ajustement d’un nuage de points : Consiste à observer sa forme pour modéliser le lien entre les deux variables à l’aide d’une fonction dont la courbe passe au plus près des points.

📝 Points essentiels

📌 Un ajustement affine paraît pertinent lorsque les points du nuage sont approximativement alignés.

💡 Astuce mémo

Forme du nuage → choix d’un modèle mathématique.

📖 3. Familles de modèles d’ajustement

📝 Points essentiels

📐 Formule - Un ajustement affine est modélisé par $y=ax+b$.

📐 Formule - Un ajustement parabolique est modélisé par $y=ax^2+bx+c$.

📌 L’ajustement exponentiel correspond à une variation très rapide, tandis que l’ajustement logarithmique correspond à une variation de moins en moins rapide.

💡 Astuce mémo

Droite, parabole, croissance rapide ou croissance qui ralentit.

📖 4. Coefficient de détermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de détermination : Mesure la pertinence d’un ajustement et est compris entre 0 et 1.

★ À maîtriser

📌 Plus le coefficient de détermination R² est proche de 1, plus l’ajustement est pertinent.

Compléments

• Pour les données de Lily et Mia, les coefficients de détermination sont:
  • 0,901 pour l’ajustement linéaire
  • 0,996 pour l’ajustement parabolique
  • 0,984 pour l’ajustement exponentiel
  • 0,748 pour l’ajustement logarithmique

💡 Astuce mémo

Calculer R², comparer les modèles, retenir la valeur la plus proche de 1.

📖 5. Prévisions par ajustement

★ À maîtriser

• 🔄 Pour effectuer une prévision, on: choisit l’ajustement pertinent, utilise son équation, calcule la valeur prévisible de y en fonction de x, ou inversement

Compléments

• Pour Lily et Mia, l’ajustement parabolique est $y=3{,}94x^2-3{,}96x+12{,}2$ et donne une estimation de 377,44 clients au douzième mois.

💡 Astuce mémo

Choisir le modèle, utiliser son équation, calculer la valeur prévue.

📖 6. Application aux contaminations

★ À maîtriser

• En Italie, le nombre de nouvelles contaminations est passé de 17 le 21 février 2020 à 1492 le 8 mars 2020.

• Pour les contaminations en Italie, les coefficients de détermination sont:

  • 0,805 pour l’ajustement affine
  • 0,959 pour l’ajustement parabolique
  • 0,980 pour l’ajustement exponentiel
  • 0,583 pour l’ajustement logarithmique

Compléments

📌 L’ajustement exponentiel est plus adapté aux contaminations italiennes que l’ajustement affine, car les points ne sont pas alignés et l’évolution est très rapide.

💡 Astuce mémo

Hausse rapide des contaminations → modèle exponentiel → justification du confinement.

📖 7. Exercices de modélisation

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice sur les véhicules hybrides, l’ajustement affine a pour équation $y=24{,}8x-5{,}13$ et son coefficient de détermination vaut 0,991.

• Dans l’exercice sur les abonnements annuels, le coefficient de détermination le plus élevé est 0,903 pour l’ajustement logarithmique.

• Dans l’exercice sur les abonnements annuels, l’ajustement parabolique obtenu est $y=-1{,}5x^2+17{,}214x+289$ et prévoit 330,712 abonnements en 2026.

💡 Astuce mémo

Le meilleur modèle varie selon le nuage et la valeur de R².

📊 Tableaux de synthèse

Choix des modèles d’ajustement