Fiche de révision : Sommes et produits finis

📋 Plan du Cours

1. Familles et notations finies
2. Règles des sommes et produits
3. Changements d’indice
4. Sommes et produits télescopiques
5. Sommes classiques
6. Sommes doubles

📖 1. Familles et notations finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille finie : Fonction x : I → E lorsque I est un ensemble fini.
• Somme indicée : Pour une famille finie de réels (aᵢ)ᵢ∈I, $\sum_{i\in I}a_i$ désigne la somme de tous les termes aᵢ.
• Produit indicé : Pour une famille finie de réels (aᵢ)ᵢ∈I, $\prod_{i\in I}a_i$ désigne le produit de tous les termes aᵢ.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des indices consécutifs, $\sum_{i=n}^{n+p}a_i=\sum_{i\in\{n,\ldots,n+p\}}a_i=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}$.

📌 Lorsque I est vide, la somme vide vaut 0 et le produit vide vaut 1.

💡 Astuce mémo

La famille (aᵢ)ᵢ∈I désigne l’ensemble, tandis que aᵢ désigne un seul terme.

📖 2. Règles des sommes et produits

★ À maîtriser

📐 Formule — La sommation est linéaire : $\sum_{i\in I}(a_i+b_i)=\sum_{i\in I}a_i+\sum_{i\in I}b_i$ et $\sum_{i\in I}\lambda a_i=\lambda\sum_{i\in I}a_i$.

📐 Formule — Pour deux familles finies, $\prod_{i\in I}(a_i b_i)=\left(\prod_{i\in I}a_i\right)\left(\prod_{i\in I}b_i\right)$ et $\prod_{i\in I}a_i^\lambda=\left(\prod_{i\in I}a_i\right)^\lambda$.

📌 Si I₁ et I₂ sont finis et disjoints, alors $\sum_{i\in I_1\cup I_2}a_i=\sum_{i\in I_1}a_i+\sum_{i\in I_2}a_i$ et $\prod_{i\in I_1\cup I_2}a_i=\prod_{i\in I_1}a_i\times\prod_{i\in I_2}a_i$.

📌 Si (Iₖ)ₖ∈⟦1,n⟧ est une partition de I, alors $\sum_{i\in I}a_i=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i\in I_k}a_i$.

Compléments

📐 Formule — Pour toute famille finie et tout réel a, $\sum_{i\in I}a=a\,\operatorname{Card}(I)$.

💡 Astuce mémo

La somme se découpe par addition, le produit par multiplication.

📖 3. Changements d’indice

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour toute bijection φ : I → φ(I), $\sum_{i\in I}a_i=\sum_{j\in\varphi(I)}a_{\varphi^{-1}(j)}$.

• Un changement d’indice bijectif remplace l’ensemble d’indices I par φ(I) et chaque terme aᵢ par a_{φ⁻¹(j)}, sans modifier la valeur de la somme.

• Pour tout n∈ℕ, $\sum_{k=1}^{n}(n-k)=\sum_{K=0}^{n-1}K=\frac{n(n-1)}{2}$ après le changement d’indice K=n−k.

Compléments

📐 Formule — Le retournement d’indice donne $\sum_{i=0}^{n}a_i=\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}$.

💡 Astuce mémo

Indexer, transformer, vérifier les bornes.

📖 4. Sommes et produits télescopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme télescopique : Somme de la forme $\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une somme télescopique vérifie $\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_0$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Pour des termes non nuls, le produit télescopique vérifie $\prod_{k=0}^{n-1}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_n}{a_0}$.

Compléments

• Pour une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q≠0, $u_n=u_0q^n$.

💡 Astuce mémo

Les termes intermédiaires se simplifient → seuls les termes aux extrémités subsistent.

📖 5. Sommes classiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout n∈ℕ, $\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour tout n∈ℕ, $\sum_{k=0}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

📐 Formule — Pour q≠1, $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Le binôme de Newton donne $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}=(a+b)^n$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous réels a et b, $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$.

📐 Formule — On a $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ et, pour p∈ℕ et n≥p, $\sum_{k=p}^{n}\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}$.

📖 6. Sommes doubles

📝 Points essentiels

• Une somme double sur un domaine d’indices se calcule en décrivant ce domaine, en choisissant un ordre de sommation, puis en évaluant la somme intérieure et la somme extérieure.

💡 Astuce mémo

Décrire le domaine, choisir l’ordre, puis calculer la somme intérieure.

📊 Tableaux de synthèse

Sommes et produits télescopiques