Sommes et produits finis

📋 Plan du Cours

1. Familles et notations finies
2. Règles des sommes et produits
3. Changements d’indice
4. Sommes et produits télescopiques
5. Sommes classiques
6. Sommes doubles

📖 1. Familles et notations finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille finie : Fonction x : I → E lorsque I est un ensemble fini.
• Somme indicée : Pour une famille finie de réels (aᵢ)ᵢ∈I, $\sum_{i\in I}a_i$ désigne la somme de tous les termes aᵢ.
• Produit indicé : Pour une famille finie de réels (aᵢ)ᵢ∈I, $\prod_{i\in I}a_i$ désigne le produit de tous les termes aᵢ.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des indices consécutifs, $\sum_{i=n}^{n+p}a_i=\sum_{i\in\{n,\ldots,n+p\}}a_i=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}$.

📌 Lorsque I est vide, la somme vide vaut 0 et le produit vide vaut 1.

💡 Astuce mémo

La famille (aᵢ)ᵢ∈I désigne l’ensemble, tandis que aᵢ désigne un seul terme.

📖 2. Règles des sommes et produits

📐 Formule — La sommation est linéaire : $\sum_{i\in I}(a_i+b_i)=\sum_{i\in I}a_i+\sum_{i\in I}b_i$ et $\sum_{i\in I}\lambda a_i=\lambda\sum_{i\in I}a_i$.