Fiche de révision : Spectres atomiques hydrogénoïdes

📋 Plan du Cours

1. Ondes électromagnétiques et grandeurs caractéristiques
2. Effet photoélectrique et quanta
3. Transitions énergétiques et spectres de raies
4. Formules empiriques des spectres
5. Postulats et quantification de Bohr
6. Transitions et séries spectrales
7. Ionisation des hydrogénoïdes
8. Limites du modèle de Bohr

📖 1. Ondes électromagnétiques et grandeurs caractéristiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde électromagnétique : MAXWELL, 1860 - Propagation simultanée de champs électrique et magnétique oscillant à la même fréquence, orthogonaux entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.
• Longueur d’onde : Distance séparant deux crêtes successives d’une onde électromagnétique.
• Période : Temps nécessaire pour parcourir un cycle.
• Nombre d’onde : L’inverse de la longueur d’onde, soit $\sigma = \frac{1}{\lambda}$.

★ À maîtriser

• Une onde électromagnétique peut se propager dans le vide sans support matériel et assure un transfert d’énergie dans l’espace.

• La vitesse de propagation de la lumière vaut c = 2,997925 × 10⁸ m·s⁻¹, soit environ 3 × 10⁸ m·s⁻¹.

📐 Formule - La longueur d’onde, la période et la fréquence vérifient $\lambda = cT$ et $\nu = \frac{1}{T} = \frac{c}{\lambda}$.

Compléments

📌 Le rayonnement désigne le phénomène étudié ou observé, tandis que l’onde en est la représentation physique théorique.

• Dans la théorie de Maxwell, l’énergie transportée par une onde électromagnétique est proportionnelle à son intensité, elle-même proportionnelle à E₀², et indépendante de sa fréquence.

• Lorsque la fréquence d’une onde électromagnétique augmente, sa longueur d’onde diminue.

📖 2. Effet photoélectrique et quanta

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet photoélectrique : HERTZ, 1887 - Extraction d’électrons d’un matériau sous l’effet d’un rayonnement lumineux.
• Photon : Quantum d’énergie sans masse associé au rayonnement lumineux.

★ À maîtriser

📌 L’effet photoélectrique ne se produit que si la fréquence incidente νᵢ atteint ou dépasse le seuil photoélectrique ν₀, lequel dépend de la nature de l’échantillon.

• À fréquence incidente constante, augmenter l’intensité lumineuse augmente le nombre d’électrons émis, mais ne change pas leur énergie cinétique.

• En 1905, Einstein présente l’énergie du rayonnement comme transportée par des quanta, des paquets d’énergie sans masse séparés par du vide.

📐 Formule - L’énergie d’un photon vaut $E_{h\nu} = h\nu = \frac{hc}{\lambda} = hc\sigma$, avec la constante de Planck $h = 6{,}626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$.

Compléments

• L’émission photoélectrique est quasi instantanée, même lorsque l’intensité lumineuse est faible.

📐 Formule - Dans l’interprétation d’Einstein, l’énergie du photon incident se répartit entre le travail d’extraction et l’énergie cinétique de l’électron : $h\nu_i = W_{\mathrm{extr}} + E_c = h\nu_0 + \frac{1}{2}m_e v_e^2$.

• Au seuil photoélectrique, l’énergie du photon compense juste le travail d’extraction : $W_{\mathrm{extr}} = h\nu_0$.

💡 Astuce mémo

L’énergie lumineuse quantifiée permet d’expliquer l’émission d’électrons au-dessus du seuil.

📖 3. Transitions énergétiques et spectres de raies

🔑 Notions clés & Définitions

• État fondamental : État énergétique le plus stable d’un système, correspondant à son niveau d’énergie le plus bas.

★ À maîtriser

• Pour passer d’un niveau E₁ à un niveau supérieur E₂, un système absorbe une énergie égale à $\Delta E = E_2 - E_1 > 0$.

• Un gaz excité par décharge électrique émet un spectre discontinu de raies colorées sur fond noir, tandis qu’un gaz traversé par de la lumière blanche présente des raies noires sur fond coloré.

• 🔄 Dans une lampe à hydrogène, : la décharge dissocie les molécules H₂(g), les atomes d’hydrogène formés sont excités, les atomes excités retournent vers leur état fondamental en émettant des radiations monochromatiques

• En 1885, Balmer identifie dans le visible quatre raies de l’hydrogène, appelées raies de Balmer et symbolisées Hα, Hβ, Hγ et Hδ.

Compléments

• Lorsqu’un système passe spontanément d’un niveau supérieur E₂ à un niveau inférieur E₁, il émet de l’énergie sous forme de chaleur ou de rayonnement, avec $E_{\mathrm{émise}} = E_1 - E_2 < 0$.

• Les spectres discontinus sont quantifiés : les longueurs d’onde de leurs raies ne peuvent prendre que certaines valeurs.

• Chaque élément chimique possède un spectre caractéristique qui lui est propre.

📌 Une entité chimique ne peut absorber que les radiations qu’elle est capable d’émettre.

• Le spectre de l’atome d’hydrogène s’obtient avec un tube scellé contenant H₂(g) sous faible pression, soumis à une décharge électrique et observé à l’aide d’un spectrographe.

💡 Astuce mémo

Absorption : montée vers E₂ ; émission : descente vers E₁.

📖 4. Formules empiriques des spectres

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule de Balmer s’écrit $\sigma=\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{m^2}\right)$, avec $m>2$ entier, et est valable pour les raies de la série de Balmer, dans le visible et le proche ultraviolet. - BALMER et RYDBERG, 1889

📐 Formule - La formule de Ritz s’écrit $\sigma=\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$, avec $m>n>0$ entiers, et s’applique à toutes les régions du domaine spectral.

📐 Formule - Pour une espèce hydrogénoïde, la formule généralisée est $\sigma=\frac{1}{\lambda}=Z^2R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$, avec $m>n$.

Compléments

• La constante de Rydberg vaut approximativement $R_H\simeq1{,}097\times10^7\ \mathrm{m}^{-1}$.

📖 5. Postulats et quantification de Bohr

★ À maîtriser

• Le second postulat de Bohr impose à l’électron des orbites de rayons bien définis $r_n$, chacune associée à un état d’énergie $E_n$, avec $n=1{,}2{,}3,\ldots$.

• Dans le modèle de Bohr, seuls certains rayons orbitaux $r_n$ et certaines énergies électroniques $E_n$ sont permis, donc le rayon et l’énergie sont quantifiés.

Compléments

• Dans le modèle de Bohr, l’électron décrit autour du noyau supposé immobile une trajectoire circulaire et plane centrée sur le noyau.

• Le premier postulat de Bohr décrit une trajectoire électronique circulaire et plane centrée sur le noyau.

• Quand le nombre quantique $n$ augmente, le rayon $r_n$ et l’énergie $E_n$ augmentent; lorsque $n\to\infty$, $r_n\to\infty$ et $E_n\to0$.

• L’état fondamental correspond à $n=1$, au rayon minimal $r_1$ et à l’énergie minimale $E_1$.

💡 Astuce mémo

Orbites permises → énergies permises → raies discrètes

📖 6. Transitions et séries spectrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Série spectrale : Une série spectrale est l’ensemble des raies $\lambda_{m\to n}$ correspondant au même niveau de retombée $n$.

★ À maîtriser

• Un électron ne gagne ou ne perd de l’énergie qu’en passant d’une orbite permise à une autre; une transition vers une orbite inférieure émet un photon, tandis qu’une transition vers une orbite supérieure absorbe de l’énergie.

📐 Formule - Lors d’une transition de l’orbite $m$ à l’orbite inférieure $n$, l’énergie du photon émis vérifie $E_{h\nu}=\frac{hc}{\lambda}=|E_n-E_m|=E_m-E_n$, avec $m>n$.

📐 Formule - La longueur d’onde d’une transition d’émission vers le niveau $n$ vérifie $\frac{1}{\lambda_{m\to n}}=R_HZ^2\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$, avec $m>n$.

Compléments

• Pour les transitions vers $n=2$ de l’hydrogène, les longueurs d’onde données sont $656{,}28\ \mathrm{nm}$ pour $m=3$, $486{,}13\ \mathrm{nm}$ pour $m=4$, $434{,}05\ \mathrm{nm}$ pour $m=5$ et $410{,}18\ \mathrm{nm}$ pour $m=6$.

📖 7. Ionisation des hydrogénoïdes

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie d’ionisation : L’énergie d’ionisation est l’énergie à fournir à un hydrogénoïde dans son état fondamental $n=1$ pour arracher un électron et atteindre $n\to\infty$, où $E_n=0\ \mathrm{eV}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un hydrogénoïde initialement dans son état fondamental, l’énergie d’ionisation vaut $EI=13{,}6Z^2\ \mathrm{eV}$.

Compléments

📌 L’ionisation après absorption d’un photon est appelée photo-ionisation.

• Pour l’ion hydrogénoïde $\mathrm{Be}^{3+}$, où $Z=4$, l’énergie d’ionisation est $EI=13{,}6\times4^2=217{,}6\ \mathrm{eV}$.

📖 8. Limites du modèle de Bohr

★ À maîtriser

• Le modèle de Bohr ne prévoit pas les déplacements ni les nouvelles raies observés lorsque l’atome d’hydrogène est placé dans un champ électrique ou magnétique, associés aux effets Stark et Zeeman.

• La théorie de Bohr ne parvient pas à interpréter les spectres des atomes lourds.

Compléments

• La mécanique quantique a été développée au début du XXe siècle pour faire face aux limites de la théorie de Bohr.