Fiche de révision : Statique des fluides

📋 Plan du Cours

1. Démarches et modèles de mécanique
2. États et comportements des fluides
3. Pression et forces de pression
4. Principe de Pascal et transmission
5. Relation fondamentale hydrostatique
6. Poussée d’Archimède et flottaison

📖 1. Démarches et modèles de mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de Navier-Stokes : Équation générale de l’hydrodynamique, formulée vers 1822-1845, sous forme d’équations aux dérivées partielles non linéaires dont l’existence mathématique des solutions n’est pas démontrée.

📝 Points essentiels

• Les simplifications conduisent notamment à:
  • l’équation de Stokes
  • l’équation d’Euler
  • au théorème de Bernoulli
  • à l’effet Venturi
  • à la relation fondamentale de l’hydrostatique
  • à l’effet Magnus
  • à la formule de Torricelli

💡 Astuce mémo

Simplifier le réel → obtenir un modèle résoluble

📖 2. États et comportements des fluides

★ À maîtriser

📌 Un solide conserve sa forme grâce à de fortes forces de cohésion intermoléculaires, tandis qu’un fluide se déforme continûment tant qu’une force est appliquée et s’écoule sans se rompre comme un solide.

• Dans un liquide, les molécules sont plus espacées et moins fortement liées que dans un solide, ce qui permet l’écoulement tout en rendant le liquide difficilement compressible.

• Dans un gaz, les molécules sont très espacées et les forces de cohésion intermoléculaire sont extrêmement faibles, de sorte que le gaz est très déformable et compressible et remplit le récipient qui le contient.

Compléments

• Les liquides sont considérés ici comme incompressibles, car leur volume varie très peu sous pression ; à 1000 m de profondeur, la masse volumique de l’eau est supérieure de seulement 0,5 % à sa valeur de surface.

💡 Astuce mémo

Solide : forme conservée ; fluide : déformation continue

📖 3. Pression et forces de pression

📝 Points essentiels

📐 Formule — La force de pression élémentaire exercée par un fluide au repos sur une surface élémentaire est $\mathrm{d}\vec F_M=p_M\,\mathrm{d}S\,\vec n$, où $\vec n$ est le vecteur unitaire normal sortant.

📐 Formule — La résultante des forces de pression exercées par un fluide sur une surface S est $\vec F=\iint_S p_M\,\vec n\,\mathrm{d}S$.

• La pression est une force par unité de surface et s’exprime en pascals ; les conversions principales sont $1\,\mathrm{bar}=10^5\,\mathrm{Pa}$, $1\,\mathrm{atm}=101325\,\mathrm{Pa}$ et $1\,\mathrm{mmHg}=133{,}3\,\mathrm{Pa}$.

💡 Astuce mémo

Une pression pousse perpendiculairement chaque petite surface

📖 4. Principe de Pascal et transmission

📝 Points essentiels

📌 Le principe de Pascal stipule que toute variation de pression en un point d’un liquide incompressible contenu dans un récipient se transmet intégralement et instantanément en tout point du liquide.

📐 Formule — Dans un vérin hydraulique, l’égalité des pressions donne $p_1=p_2$, donc $\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}$ et $F_2=\frac{S_2}{S_1}F_1$.

💡 Astuce mémo

Petite surface pressée → pression transmise → grande force

📖 5. Relation fondamentale hydrostatique

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit localement $\operatorname{grad}p(M)=\rho(M)\,\vec g$ et, sur un axe vertical ascendant, $\frac{\mathrm dp(z)}{\mathrm dz}=-\rho(z)g$.

📐 Formule — Pour un fluide incompressible et homogène de masse volumique constante, la relation intégrée est $p(z)+\rho gz=\text{constante}$.

• Dans un fluide au repos, la pression en un point dépend de la hauteur de la colonne de liquide située au-dessus de ce point et ne dépend ni du volume ni de la forme du contenant.

Compléments

• Dans l’eau, la pression augmente d’environ 1 bar tous les 10 m de profondeur ; à 10 m de profondeur, la surpression par rapport à l’atmosphère vaut donc 1 bar.

💡 Astuce mémo

Poids du fluide → gradient de pression → pression liée à l’altitude

📖 6. Poussée d’Archimède et flottaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Poussée d’Archimède : Archimède — Force verticale dirigée vers le haut, exercée par un fluide sur un corps immergé, dont la norme est égale au poids du volume de fluide déplacé.

★ À maîtriser

📐 Formule — La poussée d’Archimède exercée sur un corps immergé vérifie $\vec\Pi=-\rho_{\mathrm{fluide}}V_{\mathrm{imm}}\vec g$, où $V_{\mathrm{imm}}$ est le volume immergé du corps et le volume de fluide déplacé.

📌 Un corps flotte si son poids est inférieur ou égal à la poussée d’Archimède, ce qui revient à avoir une masse volumique moyenne inférieure ou égale à celle du fluide environnant ; sinon, il coule.

Compléments

• Dans une montgolfière, chauffer l’air d’environ 15 °C à 80 °C diminue sa masse volumique de 1,23 kg.m⁻³ à 1 kg.m⁻³, ce qui peut rendre la poussée d’Archimède supérieure au poids de l’ensemble.

• Les caissons étanches des porte-conteneurs et les ballasts des sous-marins modifient la masse volumique moyenne ou le volume immergé afin de contrôler la flottaison.

💡 Astuce mémo

Corps moins dense que le fluide : il flotte ; plus dense : il coule

📊 Tableaux de synthèse

Comportement des états de la matière