Fiche de révision : Statistiques à une et deux variables

📋 Plan du Cours

1. Tableaux croisés et caractères
2. Représentations graphiques statistiques
3. Fréquences et tableaux d’effectifs
4. Nuage de points et point moyen
5. Ajustement affine
6. Régression et estimations
7. Utilisation du tableur
8. Médiane et diagrammes en boîte
9. Pourcentages et automatismes

📖 1. Tableaux croisés et caractères

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé : Tableau à double entrée permettant d’étudier simultanément deux caractères dans une population et pouvant contenir des effectifs ou des proportions.

★ À maîtriser

📌 Un caractère est quantitatif s’il prend des valeurs numériques, comme le revenu, la température, l’âge, la taille ou le poids, et il est qualitatif s’il décrit une catégorie, comme une couleur, un genre ou une catégorie socioprofessionnelle.

Compléments

• Dans le tableau croisé du groupe sanguin et du rhésus, la population étudiée est un groupe de personnes et les deux caractères étudiés sont qualitatifs.

• Dans le tableau des diplômes, 25,9 % des adultes de 25 à 44 ans bacheliers ont au moins un parent diplômé du secondaire.

💡 Astuce mémo

Quantitatif = nombres ; qualitatif = catégories

📖 2. Représentations graphiques statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres multiple : Graphique représentant plusieurs caractères d’une population grâce à des barres placées côte à côte, ce qui facilite la comparaison.
• Diagramme circulaire : Graphique visualisant la répartition d’un caractère dans une population au moyen de secteurs angulaires colorés représentant toutes ses valeurs.

📝 Points essentiels

📌 Pour comparer deux séries avec des diagrammes circulaires, il faut utiliser deux diagrammes côte à côte avec la même légende.

💡 Astuce mémo

Barres pour comparer ; secteurs pour répartir

📖 3. Fréquences et tableaux d’effectifs

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total : $f_i=\frac{n_i}{N}$.

📐 Formule - La moyenne d’une série statistique est $\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}$.

Compléments

📐 Formule - L’étendue d’une série statistique est la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale : $\text{étendue}=\max-\min$.

• Les effectifs par couleur sont :
  • 15 personnes aux yeux marron
  • 10 personnes aux yeux bleus
  • 5 personnes aux yeux verts

💡 Astuce mémo

Effectif → fréquence → pourcentage

📖 4. Nuage de points et point moyen

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représentation graphique de l’ensemble des points de coordonnées $(x;y)$, où x est la première variable et y la seconde.
• Point moyen : Point G de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$, où $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont les moyennes des deux variables.

📝 Points essentiels

• Pour la série altitude-température, le point moyen est $G(1{,}025;15{,}625)$, avec l’altitude en kilomètres et la température en degrés Celsius.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points traversé par son point G

📖 5. Ajustement affine

★ À maîtriser

📌 Lorsque le nuage de points est sensiblement aligné, une droite passant au plus près des points réalise un ajustement affine.

Compléments

• Une dépendance entre deux variables peut être observée lorsque les points se répartissent autour d’une droite ou d’une autre courbe.

• Pour tracer au jugé une droite d’ajustement, on place le point moyen puis on ajuste la pente afin que la droite passe au plus près de tous les points.

💡 Astuce mémo

Points alignés → droite d’ajustement → estimation

📖 6. Régression et estimations

★ À maîtriser

📌 Une interpolation estime une valeur inconnue dans le domaine d’étude de l’échantillon, tandis qu’une extrapolation l’estime en dehors de ce domaine.

📐 Formule - La droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés admet une équation de la forme $y=ax+b$.

Compléments

• La droite des points extrêmes passe par les points du nuage ayant les abscisses minimale et maximale.

• La droite de Mayer partage le nuage en deux groupes de même effectif et passe par leurs points moyens respectifs.

💡 Astuce mémo

Interpolation dans le domaine ; extrapolation hors du domaine

📖 7. Utilisation du tableur

★ À maîtriser

• Dans un tableur, on calcule les moyennes, on sélectionne les données pour créer un nuage de points, puis on ajoute une courbe de tendance linéaire.

Compléments

• Dans un tableur, la formule =MOYENNE(B1:I1) calcule la moyenne des valeurs situées de B1 à I1.

📌 Pour réaliser un nuage de points dans le tableur, il faut sélectionner la plage de cellules B1:I2 puis choisir Insertion, Graphiques et Nuage de points avec des points uniquement.

💡 Astuce mémo

Moyenne → nuage → courbe linéaire

📖 8. Médiane et diagrammes en boîte

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane partage une série ordonnée en deux parties de même effectif, les valeurs centrales étant utilisées lorsque l’effectif est pair.
• Quartile : Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales, et le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.

★ À maîtriser

📌 En 2023, le taux de fécondité est plus élevé et plus dispersé en Afrique qu’en Europe, avec une médiane d’environ 4 enfants par femme en Afrique contre environ 1,4 en Europe. - O.N.U., world population prospects 2024

Compléments

• Pour les 14 espérances de vie féminines étudiées, la série ordonnée est 55, 66, 72, 72, 75, 77, 79, 80, 80, 83, 84, 85, 85, 87 ans. - O.M.S., rapport, mai 2025

💡 Astuce mémo

Médiane au centre ; quartiles encadrent la moitié

📖 9. Pourcentages et automatismes

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer p % d’une quantité, on peut multiplier cette quantité par $\frac{p}{100}$.

📐 Formule - Une proportion peut s’écrire sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage, par exemple $0{,}25=\frac{1}{4}=25\%$.

Compléments

• Parmi les élèves utilisant un véhicule personnel, 4 sur 13 mettent moins de 15 minutes, soit environ 30,8 %.

• Dans l’étude des élèves, 40,1 % utilisent les transports en commun.

📊 Tableaux de synthèse

Types de représentations