Fiche de révision : Nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Valeur absolue et racines
3. Intervalles et opérations
4. Calcul littéral

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres entiers positifs ou nuls, comme 7, 13, √25 et 142.
• Entiers relatifs : Nombres entiers pouvant être négatifs, comme −7, −15 et −√25.
• Nombres décimaux : Nombres possédant un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,2 et 3/4 = 1,25.
• Nombres rationnels : Nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers, comme −7/3, 17/29 et 5/4.
• Nombres réels : Tous les nombres, notamment π, √2 et √5.

💡 Astuce mémo

De N à R : naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels.

📖 2. Valeur absolue et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre le point A associé à a et l'origine O sur la droite des réels.
• Racine carrée : Nombre positif dont le carré vaut a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux nombres a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et, si b ≠ 0, $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Compléments

• Pour 3 et −5, on a |3| = 3 et |−5| = 5.

📌 Pour tout nombre a, $\sqrt{a^2}=|a|$, et pour tout a ≥ 0, $\sqrt{a^2}=a$.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue = distance ; racine carrée = nombre positif dont le carré vaut a.

📖 3. Intervalles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle borné : Ensemble des nombres x tels que a ≤ x ≤ b.
• Intervalles non bornés : Les intervalles [a;+∞[, ]a;+∞[, ]−∞;a] et ]−∞;a[ correspondent respectivement à x ≥ a, x > a, x ≤ a et x < a.
• Intersection et réunion : L'intersection I ∩ J contient les nombres communs à I et J, tandis que la réunion I ∪ J contient les nombres appartenant à au moins l'un des deux intervalles.

★ À maîtriser

📌 Les quatre intervalles bornés correspondent à [a;b] : a ≤ x ≤ b, ]a;b] : a < x ≤ b, [a;b[ : a ≤ x < b, et ]a;b[ : a < x < b.

Compléments

• Pour I = ]−2;3] et J = [1;+∞[, on obtient I ∩ J = [1;3] et I ∪ J = ]−2;+∞[.

💡 Astuce mémo

Intersection = éléments communs ; réunion = éléments appartenant à au moins un intervalle.

📖 4. Calcul littéral

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels k, a, b, c et d, les identités de développement sont $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Le développement de (x+5)² donne x² + 10x + 25.

• La factorisation de 4x² − 9 utilise une différence de deux carrés et donne 4x² − 9 = (2x−3)(2x+3).

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser effectue le chemin inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Principaux ensembles de nombres