Fiche de révision : Statistiques descriptives

📋 Plan du Cours

1. Tendance centrale et loi normale
2. Exemple de distribution salariale
3. Mesures de dispersion
4. Erreur standard et intervalle de confiance
5. Effectifs fréquences et quantiles
6. Types de variables et indicateurs
7. Corrélation entre variables quantitatives
8. Tableaux de contingence qualitatifs

📖 1. Tendance centrale et loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : ou loi de Gauss, apparaît notamment lorsque l’on fait la moyenne d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et de même ordre de grandeur, et sa distribution prend une forme de cloche.
• Moyenne : la valeur qu’aurait chacun des membres d’une population ou d’un échantillon s’ils étaient tous identiques, et elle s’applique à une variable quantitative.
• Médiane : la valeur qui partage les observations en deux parties égales et correspond au percentile 50, avec 50 % des effectifs au-dessus et 50 % au-dessous.
• Mode : la valeur la plus fréquente d’une variable et celle qui caractérise le mieux une population.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La moyenne d’un échantillon de n valeurs est $m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

💡 Astuce mémo

Moyenne tirée par les valeurs extrêmes, médiane au percentile 50

📖 2. Exemple de distribution salariale

★ À maîtriser

• Dans la distribution des salaires étudiée par l’Insee en 2013, le salaire moyen était de 2 202 € et le salaire médian de 1 772 €.

• Une petite partie de la population percevant un salaire très élevé tire la moyenne vers le haut, de sorte que plus de la moitié de la population peut gagner moins que la moyenne.

Compléments

• Dans cette distribution salariale, le salaire médian était inférieur de 24 % au salaire moyen. — Insee, 2013

💡 Astuce mémo

Salaires très élevés → moyenne tirée vers le haut

📖 3. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : la racine carrée de la variance et mesure la dispersion des données dans la même unité que la moyenne.
• Étendue : l’écart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur d’une série.

★ À maîtriser

📐 Formule — La variance d’une variable X est $V(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2$, où m est la moyenne et n le nombre d’individus de l’échantillon.

Compléments

📐 Formule — L’écart-type vérifie $\sigma_X=\sqrt{V(X)}$.

📐 Formule — Le coefficient de variation quantifie l’écart-type relativement à la moyenne selon $CV=\frac{\sigma}{\mu}$.

💡 Astuce mémo

Écart → carré → moyenne → racine

📖 4. Erreur standard et intervalle de confiance

★ À maîtriser

📐 Formule — L’erreur standard de la moyenne est donnée par $es=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

📐 Formule — Pour une moyenne issue d’une loi normale, l’intervalle de confiance à 95 % est égal à la moyenne plus ou moins $1{,}96\times es$.

• Pour une loi normale, 95 % des valeurs se situent dans un intervalle de plus ou moins 1,96 écart-type autour de la moyenne.

Compléments

• Dans l’exemple d’une population de 600 employés ayant un écart-type de 2,40, un échantillon de 300 personnes donne une erreur standard de 0,139 et un intervalle de 21,5 à 22,1 autour de la moyenne 21,8.

💡 Astuce mémo

Échantillon plus petit → erreur standard plus grande → moyenne moins précise

📖 5. Effectifs fréquences et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : le quotient de son effectif par l’effectif total et indique la proportion de présence de cette valeur dans la série.
• Quantile : la valeur qui laisse α % des observations en dessous et 1 − α % au-dessus.
• Effectif total : le nombre de valeurs présentes dans une série statistique.

📝 Points essentiels

• Les quartiles usuels sont P25, qui laisse 25 % des observations en dessous, et P75, qui laisse 75 % des observations en dessous ; la médiane correspond à P50.

📖 6. Types de variables et indicateurs

📝 Points essentiels

📌 Une variable peut être quantitative discrète ou continue, ou qualitative ordinale ou nominale ; les variables quantitatives se décrivent par des mesures de tendance centrale et de dispersion, tandis que les variables qualitatives se décrivent notamment par des effectifs et des fréquences.

💡 Astuce mémo

Quantitative : tendance et dispersion ; qualitative nominale : effectifs et fréquences

📖 7. Corrélation entre variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation : mesure la qualité de la corrélation entre deux variables quantitatives et est compris entre −1 et +1.

★ À maîtriser

• Un coefficient r égal à +1 indique une corrélation positive parfaite, r égal à −1 une corrélation négative parfaite et r égal à 0 une absence totale de corrélation.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient de corrélation s’écrit $r=\frac{\sum(X-\bar X)(Y-\bar Y)}{\sqrt{\sum(X-\bar X)^2\times\sum(Y-\bar Y)^2}}$.

💡 Astuce mémo

−1 : inverse parfaite, 0 : aucune, +1 : directe parfaite

📖 8. Tableaux de contingence qualitatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de contingence : présente les liens entre deux variables qualitatives ou plus et facilite la prise de décision.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour établir un tableau de contingence, il faut: relever les couples de valeurs mesurés, déterminer l’effectif de chaque couple, calculer les totaux des variables et de l’échantillon, calculer les ratios permettant de conclure

• Dans l’exemple des achats, 38 % des clientes qui achètent sur internet achètent du haut de gamme, tandis que 23,4 % des clientes achètent du haut de gamme sur internet.

Compléments

📌 La probabilité conditionnelle est calculée sous un critère donné et ses valeurs totalisent 1 pour l’ensemble des modalités de ce critère, tandis que la probabilité inconditionnelle est calculée sur l’ensemble de l’échantillon.

💡 Astuce mémo

Données → effectifs → fréquences → probabilités conditionnelles

📊 Tableaux de synthèse

Mesures de tendance centrale