Fiche de révision : Statistiques descriptives en psychologie

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et organisation du cours
2. Calculs et notation sommatoire
3. Variables et types de données
4. Effectifs et fréquences
5. Graphiques statistiques
6. Indicateurs de position et dispersion
7. Variables appariées et corrélation
8. Corrélation de Spearman et régression
9. Probabilités et dénombrement
10. Loi binomiale et échantillonnage
11. Loi normale et probabilités
12. Effectifs et approximation normale
13. Estimation d’une proportion
14. Estimer une proportion
15. Choisir la taille d’échantillon
16. Estimer une moyenne
17. Estimer un écart type
18. Interpréter les intervalles

📖 1. Objectifs et organisation du cours

★ À maîtriser

• Le cours vise à introduire des outils d’estimation permettant de déterminer un intervalle de confiance et une marge d’erreur à partir d’un échantillon.

• Le cours distingue la statistique descriptive, qui résume des données expérimentales, la probabilité, outil de prédiction du résultat d’une expérience sous certaines hypothèses, et la statistique inférentielle, qui permet des déductions à partir de mesures sur un échantillon.

Compléments

• La note de contrôle terminal représente la moitié de la note de l’UE et la note de contrôle continu en représente l’autre moitié.

• Le contrôle continu comprend pour moitié un contrôle commun autour du 10 mars 2021 et pour moitié une note attribuée dans chaque groupe de TD, à partir de contrôles et éventuellement de la participation.

📖 2. Calculs et notation sommatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation sommatoire : La notation sommatoire $\sum_{i=1}^{r} f(i)$ désigne la somme des valeurs de la formule obtenues en remplaçant successivement i par 1 jusqu’à r.

★ À maîtriser

• Pour calculer une expression, on effectue successivement les calculs entre parenthèses ou dans les fractions, les puissances, les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

Compléments

• Dans une expression, le signe moins peut désigner une soustraction ou l’opposé d’un nombre, et une multiplication peut être écrite sans symbole, comme dans $3(-8+9)$.

• Dans une fraction, le terme du haut est le numérateur et le terme du bas est le dénominateur; le trait de fraction regroupe les termes du numérateur et du dénominateur.

📌 Développer une multiplication par une somme consiste à multiplier chaque terme de la somme, par exemple $2(9-8)=2\times9-2\times8$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications et divisions → additions

📖 3. Variables et types de données

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable statistique : Une propriété qui varie d’un individu à l’autre.
• Individu : Un élément dont on étudie les propriétés en observant les valeurs prises par une variable statistique.
• Population : L’ensemble des individus considérés dans une étude.
• Échantillon : Un sous-ensemble d’individus choisis au sein d’une population.
• Proportion : Le nombre d’individus qui possèdent une propriété divisé par le nombre total d’individus considérés; elle est comprise entre 0 et 1, ou entre 0 % et 100 % lorsqu’elle est exprimée en pourcentage.

📝 Points essentiels

📌 Une variable quantitative possède des modalités numériques pour lesquelles l’addition a un sens; elle est discrète si des valeurs sont interdites entre ses modalités et continue si ses modalités forment un intervalle sans valeur interdite.

📌 Une variable qualitative ordinale possède des modalités ordonnées de manière claire et consensuelle, tandis qu’une variable qualitative nominale n’a pas d’ordre consensuel entre ses modalités.

💡 Astuce mémo

Quantitative : l’addition a un sens ; qualitative : les modalités ne sont pas des nombres opératoires

📖 4. Effectifs et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Le nombre d’individus chez qui la variable prend cette valeur précise.
• Classe : Un intervalle utilisé pour regrouper des modalités, notamment celles d’une variable quantitative continue; ce regroupement fait perdre une partie de l’information précise.
• Fréquence cumulée : La somme des fréquences relatives de cette colonne et de toutes les colonnes précédentes; pour une variable regroupée en classes, elle correspond à la borne supérieure de la classe, exclue de l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Pour des modalités d’effectifs $n_1,\ldots,n_r$, l’effectif total est $n=\sum_{i=1}^{r}n_i$.

📐 Formule - La fréquence relative de la ième modalité ou classe est $f_i=\frac{n_i}{n}$, où $n_i$ est son effectif et $n$ l’effectif total.

📖 5. Graphiques statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : La fonction définie par $F_X(a)=\Pr[X\leq a]$.

★ À maîtriser

• Pour représenter les fréquences d’une variable numérique discrète, on peut utiliser un diagramme en bâtons dont la hauteur de chaque bâton indique la fréquence de la modalité.

• Pour des données regroupées en classes, un histogramme représente les classes par des rectangles dont la largeur indique la taille de l’intervalle et dont la surface est proportionnelle à la fréquence.

Compléments

• Pour représenter les fréquences d’une variable qualitative, on peut utiliser un diagramme circulaire dont les angles sont proportionnels aux fréquences et valent $f\times360^\circ$.

• Le polygone des fréquences cumulées s’obtient en plaçant les points associés aux bornes supérieures des classes et à leurs fréquences cumulées, en ajoutant le point de départ de fréquence nulle, puis en reliant les points par des segments et en prolongeant horizontalement aux extrémités.

📖 6. Indicateurs de position et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Une modalité d’une variable numérique ou ordinale telle qu’au moins la moitié des individus ont une valeur inférieure ou égale à elle et qu’au moins la moitié ont une valeur supérieure ou égale à elle.
• Moyenne : La somme des valeurs observées divisée par n, soit $m(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.
• Écart-type : La racine carrée de sa variance; il donne une valeur typique de l’écart entre les valeurs de la variable dans l’échantillon.

★ À maîtriser

📌 Pour calculer la médiane d’une série ordonnée de n valeurs, on choisit la valeur de rang $(n+1)/2$ si ce rang est entier; sinon, on prend le milieu entre les valeurs de rang $n/2$ et $n/2+1$.

📐 Formule - La variance est $\mathrm{Var}(X)=m\left((X-m(X))^2\right)=m(X^2)-m(X)^2$.

Compléments

📐 Formule - Pour des données regroupées en classes, la médiane approchée est $\mathrm{Med}\approx a_i+\frac{a_{i+1}-a_i}{F_X(a_{i+1})-F_X(a_i)}\left(0{,}5-F_X(a_i)\right)$, où la classe choisie est la première dont la fréquence cumulée dépasse 0,5.

• Pour des données regroupées en classes, le premier quartile vérifie $F_X(Q_1)=0{,}25$ et le troisième quartile vérifie $F_X(Q_3)=0{,}75$; on peut employer la formule de la médiane en remplaçant 0,5 par le seuil du quartile considéré.

📐 Formule - Pour des données regroupées en classes, la moyenne est approximée à partir des milieux $c_i$ des classes et de leurs effectifs $n_i$ par $m(X)\approx\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{r}n_ic_i$.

📖 7. Variables appariées et corrélation

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables appariées : Deux variables sont définies sur les mêmes individus et chaque valeur de l’une est associée à une valeur de l’autre pour le même individu.
• Covariance : La covariance de deux variables quantitatives X et Y est $\mathrm{Cov}(X,Y)=m((X-m(X))(Y-m(Y)))=m(XY)-m(X)m(Y)$.
• Corrélation de Spearman : Le fait qu’une variable augmente ou diminue lorsque l’autre augmente.

★ À maîtriser

📌 En sciences humaines, une variable manipulable par l’expérimentateur est dite indépendante et l’autre variable est dite dépendante; cette appellation ne prouve pas que la variable indépendante soit la cause de la variable dépendante.

• L’étude de deux variables appariées vise notamment à mesurer l’intensité de leur lien par une corrélation et à prédire une variable en fonction de l’autre par une régression linéaire.

📐 Formule - Le coefficient de corrélation linéaire est $r(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{s(X)s(Y)}$.

• Le coefficient de corrélation linéaire est compris entre −1 et 1; plus sa valeur absolue est proche de 1, plus le lien linéaire est fort, et une valeur proche de zéro indique un lien linéaire plus faible.

Compléments

• Un coefficient de corrélation linéaire supérieur à 0,75 ou inférieur à −0,75 indique un fort lien linéaire; une valeur entre 0,5 et 0,75 ou entre −0,75 et −0,5 indique déjà un lien, sans qu’il soit nécessairement fort ou proche d’une droite.

📌 Pour attribuer des rangs à des valeurs égales, on leur donne le rang moyen des positions qu’elles auraient occupées; par exemple, deux valeurs occupant les rangs 10 et 11 reçoivent chacune le rang 10,5.

💡 Astuce mémo

Corrélation linéaire : proximité d’une droite ; Spearman : variation dans le même sens ou en sens contraire

📖 8. Corrélation de Spearman et régression

★ À maîtriser

• Pour calculer le coefficient de Spearman, on transforme les valeurs de X et Y en rangs, on attribue aux valeurs ex æquo le rang moyen, puis on calcule la corrélation linéaire de ces rangs ou on applique la formule approchée.

📐 Formule - Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman est approximativement donné par $r_s(X;Y)=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}(x'_i-y'_i)^2}{n(n^2-1)}$.

📌 Une corrélation de Spearman forte décrit un nuage concentré le long d’une courbe, qui peut ne pas être une droite, tandis qu’une corrélation linéaire forte correspond à un nuage presque aligné sur une droite.

📌 La droite de régression de Y sur X prédit Y à partir de X, tandis que la droite de régression de X sur Y prédit X à partir de Y ; ces deux droites sont généralement distinctes.

📐 Formule - La droite de régression de Y sur X s’écrit $Y=aX+b$, avec $a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)}=r(X;Y)\frac{s(Y)}{s(X)}$ et $b=m(Y)-a\,m(X)$.

Compléments

• Dans l’exemple de 16 individus, le coefficient de Spearman vaut environ −0,774 et la somme des carrés des différences de rangs vaut 1206.

• Les coefficients de corrélation sont sans unité et ne changent pas si une variable est exprimée dans une unité différente, contrairement à la moyenne et à l’écart type.

• Une régression linéaire est d’autant plus pertinente que le coefficient de corrélation linéaire est proche de 1 ou de −1.

💡 Astuce mémo

Spearman suit les rangs ; la régression prédit une variable.

📖 9. Probabilités et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènement aléatoire : Résultat ou ensemble de résultats d’une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : Règle permettant de déterminer la probabilité des différents évènements possibles dans un contexte précis.
• Loi uniforme : Une loi est uniforme lorsque tous ses évènements élémentaires ont la même probabilité.
• Variable aléatoire : Quantité qui varie d’un évènement à l’autre.
• Factorielle : La factorielle de n, notée n!, est le produit des entiers de 1 à n et correspond au nombre de permutations de n éléments ; on pose 0! = 1 et 1! = 1.

★ À maîtriser

• Lorsqu’une loi est uniforme, la probabilité d’un évènement se calcule en divisant le nombre de cas favorables par le nombre total de cas.

📐 Formule - Le nombre de groupes de k éléments choisis parmi n, sans tenir compte de l’ordre, est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pour $0\leq k\leq n$.

Compléments

• Avec deux dés à quatre faces distinctes, la somme X prend les valeurs de 2 à 8 avec les probabilités respectives 1/16, 2/16, 3/16, 4/16, 3/16, 2/16 et 1/16.

📐 Formule - Pour une variable discrète de valeurs x_i et d’effectifs n_i parmi n observations, la moyenne est $m(X)=\frac{\sum_i x_i n_i}{n}$ et la variance est $\operatorname{Var}(X)=m(X^2)-m(X)^2$.

📐 Formule - Le nombre de permutations de n éléments est $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$.

• Parmi 25 personnes dont 6 fumeurs, la probabilité de choisir au hasard 3 personnes comprenant exactement un fumeur et deux non-fumeurs vaut $\frac{6\binom{19}{2}}{\binom{25}{3}}=\frac{1026}{2300}\approx0{,}446$.

📖 10. Loi binomiale et échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p lorsque X compte le nombre de succès obtenus lors de n répétitions indépendantes d’une expérience dont la probabilité de succès est p à chaque répétition.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $X\sim B(n;p)$, alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Si $X\sim B(n;p)$, alors $m(X)=np$, $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$ et $s(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

📌 La loi binomiale décrit rigoureusement un tirage avec remise et constitue aussi une approximation du tirage sans remise lorsque la population est au moins dix fois plus grande que la taille de l’échantillon.

Compléments

• Pour calculer la probabilité d’un intervalle entier [a;b] sous une loi discrète, on peut additionner les probabilités de chaque valeur de a à b ou calculer $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a-1)$.

📖 11. Loi normale et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale centrée réduite : Une variable Z suit la loi normale centrée réduite lorsque ses probabilités d’intervalle sont données par $P(a\leq Z\leq b)=\int_a^b\frac{\exp(-x^2/2)}{\sqrt{2\pi}}\,dx$ pour toutes les bornes a et b.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition F de la loi normale centrée réduite est définie par $F(z)=P(Z\leq z)$.
• Loi normale : X suit la loi normale de moyenne μ et d’écart type σ, notée $X\sim N(\mu;\sigma)$, lorsque $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a<b, $P(a\leq Z\leq b)=F(b)-F(a)$, et pour z<0, $F(z)=1-F(|z|)$.

Compléments

📌 Pour une loi normale, les probabilités ne changent pas si l’on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes aux bornes, contrairement à une loi binomiale où les valeurs ponctuelles ont une probabilité non nulle.

• Pour calculer une probabilité d’intervalle pour X suivant $N(\mu;\sigma)$, on standardise les bornes avec $Z=(X-\mu)/\sigma$ puis on utilise la fonction F de la loi normale centrée réduite.

• Pour une variable normale centrée réduite, $P(-1{,}96\leq Z\leq1{,}96)\approx0{,}95$ et $P(-2{,}576\leq Z\leq2{,}576)\approx0{,}99$.

💡 Astuce mémo

Une cloche dont l’aire à gauche de z vaut F(z).

📖 12. Effectifs et approximation normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif théorique : L’effectif théorique d’un évènement dans une population de n individus est égal à sa probabilité multipliée par n.

★ À maîtriser

📌 Une loi binomiale $B(n;p)$ peut être approchée par $N(np;\sqrt{np(1-p)})$ lorsque $n\geq30$, $np\geq5$ et $n(1-p)\geq5$.

• Pour appliquer la correction de continuité à une probabilité binomiale $P(a\leq X\leq b)$, on l’approche par la probabilité normale $P(a-0{,}5\leq X\leq b+0{,}5)$.

Compléments

📌 Pour calculer les effectifs théoriques de classes sous une loi normale, on étend la première classe jusqu’à −∞ et la dernière jusqu’à +∞ afin que les probabilités des classes couvrent toute la distribution.

• Pour $X\sim B(50;0{,}2)$, l’approximation normale utilise $N(10;2{,}83)$, et $P(8\leq X\leq12)$ s’approche par $P(7{,}5\leq X\leq12{,}5)\approx0{,}62$.

📖 13. Estimation d’une proportion

★ À maîtriser

• Pour une loi normale centrée réduite, un intervalle de confiance central à 95 % est approximativement [−1,96; 1,96], et à 99 % il est approximativement [−2,576; 2,576].

📐 Formule - Pour $X\sim N(\mu;\sigma)$, l’intervalle central de confiance à 95 % est $[\mu-1{,}96\sigma;\mu+1{,}96\sigma]$ et celui à 99 % est $[\mu-2{,}576\sigma;\mu+2{,}576\sigma]$.

• Pour estimer la proportion d’étudiants stressés, on considère le nombre X de personnes stressées parmi 75 personnes interrogées au hasard et on compare ce nombre à la distribution attendue sous une proportion supposée p.

Compléments

• Si 40 % des étudiants sont stressés et que 75 personnes sont interrogées, X s’approche de $N(30;4{,}24)$ et son intervalle central à 95 % est approximativement [21,69;38,31].

📌 Si le nombre observé de personnes stressées est hors de l’intervalle attendu sous une proportion supposée, cette proportion est rejetée au niveau de confiance considéré par le raisonnement du cours.

📖 14. Estimer une proportion

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion expérimentale : La proportion expérimentale $p_e$ est la proportion observée dans un échantillon précis, tandis que $P$ désigne la variable aléatoire qui varie d’un échantillon à l’autre.

★ À maîtriser

• Pour estimer une proportion dans une population, on vérifie que $n>30$, $n p_e>5$ et $n(1-p_e)>5$, puis on calcule $a_\alpha=z_\alpha\sqrt{\frac{p_e(1-p_e)}{n}}$ et l’intervalle $[p_e-a_\alpha,\,p_e+a_\alpha]$ au niveau de confiance $c=1-\alpha$.

Compléments

• Pour une confiance de 95 %, le seuil normal est $z_\alpha=1{,}96$.

• Dans un échantillon de 75 étudiants où 18 sont stressés, $p_e=18/75=0{,}24$ et l’intervalle de confiance à 95 % calculé par la procédure est $[0{,}143;0{,}337]$.

📖 15. Choisir la taille d’échantillon

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour viser une précision $h$ lors de l’estimation d’une proportion, il faut choisir $n>\frac{z_\alpha^2p_e(1-p_e)}{h^2}$ ; avant l’expérience, on peut garantir cette précision en choisissant $n>\frac{z_\alpha^2}{4h^2}$.

📖 16. Estimer une moyenne

★ À maîtriser

• Pour estimer la moyenne d’une population, on calcule $a_\alpha=z_\alpha\frac{s_e}{\sqrt{n-1}}$ si $n>30$, ou $a_\alpha=t_\alpha\frac{s_e}{\sqrt{n-1}}$ si $n<30$ et si la variable suit une loi normale, puis on utilise l’intervalle $[m_e-a_\alpha,\,m_e+a_\alpha]$.

📌 Pour un échantillon de moins de 30 individus, la procédure d’estimation de la moyenne ne s’applique que si la variable étudiée suit une loi normale.

Compléments

• Pour 6 326 ménages, avec $m_e=2{,}55$, $s_e=1{,}3$ et une confiance de 95 %, l’intervalle estimé pour la moyenne est $[2{,}52;2{,}58]$.

• Pour 16 victimes d’agression, avec $m_e=28{,}94$, $s_e=7{,}09$ et une confiance de 95 %, en supposant la variable normale, l’intervalle estimé pour la moyenne est $[25{,}04;32{,}84]$.

📐 Formule - Pour viser une précision $h$ lors de l’estimation d’une moyenne, la taille de l’échantillon doit vérifier $n>\frac{z_\alpha^2s_e^2}{h^2}$, avec $z_\alpha$ issu de la loi normale.

💡 Astuce mémo

Grand échantillon : seuil z ; petit échantillon : seuil t de Student

📖 17. Estimer un écart type

★ À maîtriser

• Pour estimer l’écart type d’une population, en supposant que la variable suit une loi normale, on lit les quantiles $x_1$ et $x_2$ dans la table du $\chi^2$ à $n-1$ degrés de liberté, puis on forme l’intervalle $\left[\frac{s_e\sqrt{n}}{\sqrt{x_2}},\frac{s_e\sqrt{n}}{\sqrt{x_1}}\right]$.

Compléments

• Pour $n=16$ et $s_e=7{,}09$, avec une confiance de 95 % et en supposant la normalité, l’intervalle estimé pour l’écart type est $[5{,}41;11{,}3]$.

📖 18. Interpréter les intervalles

★ À maîtriser

📌 Pour comparer une valeur à un intervalle de confiance, si cette valeur est à l’intérieur de l’intervalle, celui-ci ne permet pas de conclure de quel côté de la valeur se situe le paramètre ; si elle est à l’extérieur, l’intervalle permet de conclure au niveau de confiance considéré.

📌 Pour comparer deux estimations, des intervalles qui se chevauchent ne permettent pas de conclure, tandis que des intervalles qui ne se chevauchent pas permettent d’indiquer laquelle des deux valeurs est la plus grande.

• Pour comparer les moyennes de deux variables appariées, on calcule d’abord les différences pour chaque paire, puis on estime la moyenne de ces différences par un intervalle de confiance.

Compléments

• Pour les niveaux d’anxiété avant et après thérapie, la moyenne échantillonnale des différences avant moins après est $m_e=7{,}81$ et l’intervalle de confiance à 95 % est $[4{,}89;10{,}73]$, ce qui indique une différence moyenne positive.

💡 Astuce mémo

Chevauchement : pas de conclusion ; séparation : comparaison possible