Fiche de révision : Statistiques descriptives et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Définition et rôle des statistiques
2. Collecte et population statistique
3. Recensement et dénombrement
4. Sondage et échantillonnage
5. Variables et modalités
6. Pourcentages et taux de variation
7. Multiplicateur et croissance successive
8. Croissance des grandeurs liées
9. Croissance moyenne et durée
10. Opérateurs somme et produit

📖 1. Définition et rôle des statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Ensemble de méthodes permettant de décrire, d’analyser et de résumer quantitativement des éléments nombreux de même nature.

★ À maîtriser

📌 La statistique fournit des mesures quantitatives et objectives, tandis que l’analyse qualitative cherche à comprendre les motivations profondes et porte nécessairement sur un échantillon plus restreint.

📌 En économie, les statistiques sans théorie peuvent décrire des évolutions semblables sans établir de lien fondé entre les variables, tandis que la théorie sans statistiques ne quantifie pas leurs relations.

Compléments

• La statistique est un outil et non une théorie en soi ; l’explication, l’identification des régularités, la comparaison et la prévision relèvent de son utilisateur.

• Un indicateur inapproprié ou mal calculé, une présentation différente des résultats ou une interprétation trop rapide peuvent fausser les conclusions statistiques.

💡 Astuce mémo

La statistique mesure quantitativement ; la théorie économique guide l’interprétation.

📖 2. Collecte et population statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Enquête : Collecte ou élaboration de données statistiques destinée à représenter certains aspects de la réalité en chiffres.
• Population statistique : Ensemble des unités observées dans une étude, qui ne se confond pas nécessairement avec une population démographique.
• Unité statistique : Individu ou élément dénombrable appartenant à la population étudiée.

📝 Points essentiels

• Dans une étude des pays ayant obtenu des médailles aux Jeux olympiques de Sydney, la population statistique est constituée des pays concernés.

• Dans une étude des exportateurs de bananes, la population statistique est constituée des pays exportateurs ou, si l’étude porte sur des firmes, des firmes exportatrices.

📖 3. Recensement et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Recensement : Enquête exhaustive menée auprès de toutes les unités de la population statistique étudiée et portant sur leurs caractéristiques.
• Dénombrement : Comptage des unités dans un cadre de référence.

📝 Points essentiels

• Le Recensement général de la population est réalisé auprès des ménages français par l’INSEE.

• Dans un recensement, l’unité et les caractéristiques observées dépendent de la population étudiée : résidents, ménages ou communes peuvent constituer les unités.

💡 Astuce mémo

Le recensement décrit toutes les unités ; le dénombrement les compte.

📖 4. Sondage et échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Sondage : Enquête partielle menée sur un échantillon représentatif d’une population statistique.

★ À maîtriser

📌 Pour qu’un sondage permette de généraliser ses observations à la population, l’échantillon doit être représentatif et sa construction détermine la qualité de l’enquête.

📌 Dans un échantillon aléatoire, chaque unité de la population statistique doit avoir la même chance d’être sélectionnée.

Compléments

• Les sondages sont souvent préférés aux recensements parce que leur coût est inférieur et que l’étude exhaustive peut être impossible en raison du nombre d’individus, des délais ou des coûts.

• En 1936, le sondage de Literary Digest, fondé sur les immatriculations de voitures et les bottins téléphoniques, prédit Landon à 55 % et Roosevelt à 41 % sur 2,3 millions de réponses, tandis que Gallup prédit respectivement 35 % et 64 % avec un échantillon de 6 500 personnes ; les résultats furent 37 % et 61 %. - Literacy Digest

• Le sondage de Literacy Digest était biaisé parce que les personnes sans voiture ou sans téléphone avaient moins de chances d’être consultées.

💡 Astuce mémo

Un échantillon biaisé → des estimations trompeuses, même avec beaucoup de réponses.

📖 5. Variables et modalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable : Caractéristique que l’on étudie sur les unités d’une population.
• Variable qualitative : Caractéristique dont les observations ne se traduisent pas par une mesure et dont les modalités expriment un état.
• Variable quantitative : Caractéristique dont les observations sont mesurables et représentées par des nombres.

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative nominale possède des modalités sans ordre, tandis qu’une variable qualitative ordinale possède des modalités classables.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs isolées, souvent entières, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre une infinité de valeurs sur un intervalle défini.

Compléments

• Le nombre d’enfants et le nombre de voitures sont des exemples de variables discrètes, tandis qu’une prime connue seulement par un intervalle est une variable continue.

💡 Astuce mémo

Qualitative : état ou rang ; quantitative : valeur mesurable.

📖 6. Pourcentages et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Valeur observée divisée par cent.

★ À maîtriser

📌 Une variation absolue s’exprime en points de pourcentage, tandis qu’une variation relative s’exprime par un taux de variation.

📐 Formule - La croissance absolue entre les dates 0 et t vérifie $V_t-V_0=gV_0$.

📐 Formule - Le taux de croissance entre les dates 0 et t vérifie $g=\frac{V_t-V_0}{V_0}=\frac{V_t}{V_0}-1$.

Compléments

• Un taux de croissance positif correspond à une hausse de la valeur, tandis qu’un taux négatif correspond à une baisse.

📖 7. Multiplicateur et croissance successive

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplicateur : Le multiplicateur est la grandeur par laquelle on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale ; il est égal à un plus le taux de croissance.

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur finale après une croissance de taux $g$ vérifie $V_t=(1+g)V_0$.

📐 Formule - Après des évolutions successives de taux $g_1,\ldots,g_n$, la valeur finale vérifie $V_n=V_0\prod_{j=1}^{n}(1+g_j)$.

📌 Les taux de croissance successifs ne s’additionnent pas : leurs multiplicateurs se composent en multipliant les facteurs correspondants.

Compléments

• Avec un PIB initial de 1 000 milliards d’euros et une croissance de 25 %, le PIB final vaut 1 250 milliards d’euros.

• Une hausse de 50 % suivie d’une hausse de 20 % correspond au multiplicateur composite $1{,}5\times1{,}2$.

📖 8. Croissance des grandeurs liées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux grandeurs multipliées, leur taux de croissance vérifie $1+g_W=(1+g_V)(1+g_U)$.

📐 Formule - Pour le quotient de deux grandeurs, le taux de croissance vérifie $1+g_W=\frac{1+g_V}{1+g_U}$.

Compléments

• Si les salaires augmentent de 50 % et les prix de 60 %, le pouvoir d’achat, égal au salaire divisé par les prix, baisse de 6,25 %.

• Une recette est égale au prix multiplié par les quantités vendues.

💡 Astuce mémo

Produit : les multiplicateurs se multiplient ; quotient : ils se divisent.

📖 9. Croissance moyenne et durée

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de croissance global : Le taux de croissance global entre deux dates est le rapport de la valeur finale à la valeur initiale, diminué de un.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux de croissance global vérifie $g_{global}=\frac{V_t}{V_0}-1$.

📐 Formule - Pour une période de $t$ années, le taux annuel moyen constant vérifie $g_{moyen}=\left(\frac{V_t}{V_0}\right)^{1/t}-1$.

📌 Le taux de croissance annuel moyen est un taux annuel constant équivalent à l’évolution totale sur la période, et ne correspond pas à la moyenne arithmétique des taux annuels observés.

Compléments

• Des hausses successives de 2 %, 20 % et 28 % produisent un taux global d’environ 56,6 % et un taux annuel moyen d’environ 16,14 %.

📖 10. Opérateurs somme et produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérateur somme : L’opérateur somme $\sum_{i=1}^{n}x_i$ additionne les valeurs d’une variable observées de 1 à n.
• Opérateur produit : L’opérateur produit $\prod_{i=1}^{n}x_i$ multiplie les valeurs d’une variable observées de 1 à n.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La somme d’un scalaire multipliant chaque terme vérifie $\sum_{i=1}^{n}ax_i=a\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📐 Formule - La somme d’une constante $a$ répétée sur $n$ observations vérifie $\sum_{i=1}^{n}a=na$.

📐 Formule - La somme se distribue sur l’addition : $\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\sum_{i=1}^{n}x_i+na$.

📐 Formule - Le logarithme d’un produit de puissances vérifie $\log\left(\prod_{i=1}^{n}x_i^m\right)=m\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)$.

💡 Astuce mémo

La somme additionne les termes ; le produit multiplie les termes.