Fiche de révision : Vecteurs et géométrie de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et colinéarité dans l’espace
2. Combinaisons linéaires et indépendance
3. Plans et vecteurs coplanaires
4. Positions relatives des droites
5. Positions relatives des droites et plans
6. Parallélisme et théorème du toit
7. Bases et repères de l’espace
8. Coordonnées et calculs vectoriels
9. Représentation paramétrique des droites
10. Représentation paramétrique des plans

📖 1. Vecteurs et colinéarité dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Pour deux points distincts A et B, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour direction celle de la droite (AB), pour sens celui de A vers B et pour norme la distance AB ; si A = B, $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur nul.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires lorsque les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
• Droite paramétrée : La droite passant par A et de vecteur directeur non nul $\overrightarrow{AB}$ est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ pour un réel t.

★ À maîtriser

📐 Formule - Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.

📌 Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Compléments

• Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

📌 Pour tout point A et tout vecteur $\overrightarrow{u}$, il existe un unique point C tel que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$.

• Les règles de calcul vectoriel dans l’espace, dont la relation de Chasles, sont les mêmes que dans le plan.

📌 Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

📐 Formule - Les points A, B et C distincts sont alignés si et seulement s’il existe un réel k tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$.

📖 2. Combinaisons linéaires et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Un vecteur $\overrightarrow{u}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ s’il existe des réels a et b tels que $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$.
• Vecteurs linéairement indépendants : Trois vecteurs $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants si aucun ne peut s’exprimer comme combinaison linéaire des deux autres.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Trois vecteurs $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants si et seulement si $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ implique $a=b=c=0$.

• Dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH, $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

📖 3. Plans et vecteurs coplanaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Des vecteurs sont coplanaires si, en choisissant un même point O comme origine, les points obtenus en les reportant depuis O appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

📌 Si A, B et C ne sont pas alignés, le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels qu’il existe des réels x et y vérifiant $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.

📌 Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, les vecteurs $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels a et b tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$.

Compléments

• Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont des vecteurs directeurs du plan (ABC) lorsque A, B et C ne sont pas alignés.

📌 Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

📌 Deux plans sont parallèles si et seulement si deux vecteurs non colinéaires de chacun des plans sont coplanaires.

📖 4. Positions relatives des droites

★ À maîtriser

• Dans l’espace, deux droites sont soit coplanaires, soit non coplanaires.

📌 Deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun.

Compléments

• Pour démontrer que deux droites sont sécantes, on cherche un plan qui les contient puis on montre qu’elles ne sont pas parallèles dans ce plan.

📌 Par tout point de l’espace passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

💡 Astuce mémo

Sécantes : même plan et un point commun ; non coplanaires : aucun point commun.

📖 5. Positions relatives des droites et plans

📝 Points essentiels

• Une droite et un plan de l’espace peuvent avoir trois positions relatives distinctes.

• Deux plans de l’espace peuvent avoir trois positions relatives distinctes.

📖 6. Parallélisme et théorème du toit

★ À maîtriser

• Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

• Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

• Si deux droites parallèles sont contenues respectivement dans deux plans distincts sécants, alors leur droite d’intersection est parallèle à ces deux droites.

Compléments

📌 Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe aussi l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Deux plans sécants se rejoignent selon un toit, dont la ligne de faîte est parallèle aux droites parallèles qu’ils contiennent.

📖 7. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires, c’est-à-dire linéairement indépendants.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est constitué d’un point O, origine du repère, et d’un triplet de vecteurs non coplanaires.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ dans un repère sont celles du point M tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$.

📝 Points essentiels

📌 Dans une base de l’espace, tout vecteur s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des trois vecteurs de la base.

📌 Dans un repère de l’espace, tout point M possède un unique triplet de coordonnées (x ; y ; z) tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.

📖 8. Coordonnées et calculs vectoriels

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs ont les mêmes coordonnées si et seulement si leurs trois coordonnées respectives sont égales.

📐 Formule - Si $\overrightarrow{u}=(x;y;z)$ et $\overrightarrow{v}=(x';y';z')$, alors $k\overrightarrow{u}=(kx;ky;kz)$ pour tout réel k et $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x+x';y+y';z+z')$.

📐 Formule - Si A et B ont pour coordonnées (x_A;y_A;z_A) et (x_B;y_B;z_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}=(x;y;z)$, alors $\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Compléments

📐 Formule - Le milieu de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, si A et B ont pour coordonnées (x_A;y_A;z_A) et (x_B;y_B;z_B), alors $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

📖 9. Représentation paramétrique des droites

★ À maîtriser

📐 Formule - La droite passant par A(x_0;y_0;z_0) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_0+at\y=y_0+bt\z=z_0+ct\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$.

Compléments

• Pour étudier deux droites définies par des représentations paramétriques, on compare d’abord leurs vecteurs directeurs pour tester le parallélisme, puis on cherche un point commun en résolvant le système des coordonnées.

• Deux droites non parallèles qui ont un point commun sont sécantes ; si elles ne sont pas parallèles et n’ont aucun point commun, elles ne sont pas sécantes.

📖 10. Représentation paramétrique des plans

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le plan passant par A(x_0;y_0;z_0) et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ et $\overrightarrow{v}=(\alpha;\beta;\gamma)$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_0+at+\alpha s\y=y_0+bt+\beta s\z=z_0+ct+\gamma s\end{cases},\quad t,s\in\mathbb{R}$.