QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (11 questions)

Question 1

1. Deux vecteurs non nuls vérifient $\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$ . Quelle relation cela établit-elle entre eux ?

Ils sont orthogonaux, car leurs sens sont opposés.

Ils ne sont pas colinéaires, car le coefficient est négatif.

Ils sont colinéaires, de sens opposés.

Ils sont égaux et de même sens.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’un réel permet d’obtenir l’un comme multiple de l’autre ; ici, ce réel est $-3$ . L’égalité exige un coefficient égal à $1$ , un coefficient négatif n’empêche pas la colinéarité, et des sens opposés ne signifient pas qu’ils sont orthogonaux.

Answer

Ils sont colinéaires, de sens opposés.

Question 2

2. Trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ vérifient $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$ . Que peut-on conclure sur ces points ?

Ils sont confondus en un seul point.

Ils ne sont pas alignés.

Ils sont alignés.

Ils forment un triangle rectangle en

A

.

Explication

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont proportionnels, donc colinéaires ; pour trois points distincts, cela équivaut à leur alignement. La proportionnalité n’exige pas des vecteurs égaux, le coefficient positif n’indique pas une perpendicularité, et un coefficient différent de $1$ n’empêche pas l’alignement.

Answer

Ils sont alignés.

Question 3

3. Dans une configuration de l’espace, $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{v}-3\overrightarrow{w}$ . Comment décrire $\overrightarrow{u}$ par rapport à $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ?

Une combinaison de

\overrightarrow{v}

et

\overrightarrow{w}

à coefficients égaux.

Une somme de multiples positifs de

\overrightarrow{v}

et

\overrightarrow{w}

.

Une combinaison linéaire de

\overrightarrow{v}

et

\overrightarrow{w}

.

Une combinaison linéaire de

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

.

Explication

Une combinaison linéaire de deux vecteurs s’écrit avec des coefficients réels, qui peuvent être négatifs comme ici. Exiger des coefficients positifs ou égaux restreint à tort la définition, tandis que la relation donnée exprime $\overrightarrow{u}$ à partir de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ .

Answer

Une combinaison linéaire de $$\overrightarrow{v}$$ et $$\overrightarrow{w}$$.

Question 4

4. On étudie trois vecteurs $\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{r}$ . Lequel des constats permet de conclure qu’ils sont linéairement indépendants ?

Deux vecteurs ne s’expriment pas l’un comme multiple de l’autre.

Aucun des trois ne s’exprime comme combinaison des deux autres.

L’un des trois s’exprime comme combinaison des deux autres.

L’un des trois s’écrit comme somme des deux autres.

Explication

Trois vecteurs sont linéairement indépendants si aucun ne peut s’exprimer comme combinaison linéaire des deux autres. Une telle expression établit au contraire la dépendance ; l’absence de colinéarité entre une paire ne suffit pas, et une somme des deux autres est également une combinaison linéaire.

Answer

Aucun des trois ne s’exprime comme combinaison des deux autres.

Question 5

5. Que signifie que plusieurs vecteurs sont coplanaires ?

Reportés depuis une même origine, leurs extrémités appartiennent à un même plan.

Ils ont des directions parallèles et des normes égales.

Ils peuvent être exprimés comme combinaisons linéaires de trois vecteurs non coplanaires.

Leurs représentants appartiennent à des plans parallèles distincts.

Explication

Des vecteurs sont coplanaires lorsque, reportés depuis une même origine, les points obtenus se trouvent dans un même plan. Des vecteurs de même direction et de même norme sont égaux, ce qui ne définit pas la coplanarité.

Answer

Reportés depuis une même origine, leurs extrémités appartiennent à un même plan.

Question 6

6. Deux droites de l’espace sont non coplanaires. Quelle propriété leur est nécessairement associée ?

Elles appartiennent à un même plan sans se couper.

Elles sont parallèles dans un même plan.

Elles se coupent en un point unique.

Elles n’ont aucun point commun.

Explication

Des droites non coplanaires ne peuvent avoir aucun point commun. Deux droites sécantes appartiennent au contraire à un même plan.

Answer

Elles n’ont aucun point commun.

Question 7

7. Quel est l’objectif de chercher un plan contenant deux droites lorsqu’on veut démontrer qu’elles sont sécantes ?

Établir qu’elles sont parallèles dans l’espace, puis vérifier qu’elles ont un point commun.

Vérifier qu’elles sont dans un même plan, puis établir qu’elles ne sont pas parallèles.

Montrer qu’elles n’ont aucun point commun, puis établir qu’elles sont non coplanaires.

Vérifier qu’elles ont un vecteur directeur commun, puis établir qu’elles sont confondues.

Explication

Le plan commun permet d’étudier les droites dans une même figure plane ; si elles ne sont pas parallèles dans ce plan, elles se coupent. Des vecteurs directeurs communs indiqueraient plutôt des droites parallèles ou confondues, et ne démontreraient pas leur sécance.

Answer

Vérifier qu’elles sont dans un même plan, puis établir qu’elles ne sont pas parallèles.

Question 8

8. En quoi le théorème du toit diffère-t-il du critère permettant de montrer que deux plans sont parallèles ?

Le théorème du toit établit que deux plans sont parallèles dès qu’ils contiennent une paire de droites parallèles, tandis que le critère des plans parallèles exige deux paires de droites sécantes parallèles.

Le théorème du toit établit que la droite d’intersection de deux plans est perpendiculaire aux droites parallèles qu’ils contiennent, tandis que le critère des plans parallèles repose sur des droites sécantes.

Le théorème du toit établit que deux droites parallèles sont contenues dans un même plan, tandis que le critère des plans parallèles exige que les plans aient une droite d’intersection commune.

Le théorème du toit établit que l’intersection de deux plans sécants est parallèle à deux droites parallèles qu’ils contiennent, tandis que le critère des plans parallèles repose sur deux paires de droites sécantes parallèles.

Explication

Le théorème du toit porte sur deux plans distincts et sécants : leur droite d’intersection est parallèle aux droites parallèles qu’ils contiennent. À l’inverse, le critère de parallélisme des plans utilise deux droites sécantes dans chacun des plans, parallèles deux à deux.

Answer

Le théorème du toit établit que l’intersection de deux plans sécants est parallèle à deux droites parallèles qu’ils contiennent, tandis que le critère des plans parallèles repose sur deux paires de droites sécantes parallèles.

Question 9

9. Pourquoi une base de l’espace permet-elle d’exprimer tout vecteur de manière unique à l’aide de ses trois vecteurs ?

Parce que ses trois vecteurs sont issus d’une même origine et sont orthogonaux.

Parce que ses trois vecteurs sont non coplanaires et linéairement indépendants.

Parce que ses trois vecteurs ont la même norme et des directions distinctes.

Parce que ses trois vecteurs sont coplanaires et deux à deux colinéaires.

Explication

L’indépendance linéaire des trois vecteurs garantit qu’aucun ne peut être obtenu comme combinaison des deux autres, ce qui permet une décomposition unique de tout vecteur de l’espace. Des vecteurs coplanaires ne formeraient pas une base de l’espace, car ils ne couvriraient pas ses trois dimensions.

Answer

Parce que ses trois vecteurs sont non coplanaires et linéairement indépendants.

Question 10

10. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées $(2;-1;2)$ . Comment calculer sa norme ?

Calculer

\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}

, ce qui donne

3

.

Additionner les valeurs absolues des coordonnées, ce qui donne

5

.

Multiplier les coordonnées entre elles puis prendre la racine carrée, ce qui donne

2

.

Calculer

\sqrt{2+(-1)+2}

, ce qui donne

\sqrt{3}

.

Explication

Dans un repère orthonormé, la norme se calcule en prenant la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées, soit ici $\sqrt{4+1+4}=3$ . Additionner les valeurs absolues donne une autre mesure et ne correspond pas à la formule de la norme euclidienne.

Answer

Calculer $$\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}$$, ce qui donne $$3$$.

Question 11

11. Quelle caractéristique des coordonnées paramétriques permet d’obtenir tous les points d’une droite passant par A et de vecteur directeur non nul ?

Les composantes du vecteur directeur s’ajoutent aux coordonnées de A sans dépendre d’un paramètre.

Les coordonnées des points restent égales à celles de A, quel que soit le paramètre réel.

Deux paramètres réels multiplient les composantes de deux vecteurs directeurs et s’ajoutent aux coordonnées de A.

Un même paramètre réel multiplie les composantes du vecteur directeur et s’ajoute aux coordonnées de A.

Explication

Le paramètre réel fait varier le point sur la droite en multipliant chaque composante du vecteur directeur, puis en l’ajoutant à la coordonnée correspondante de A. Deux paramètres sont caractéristiques d’une représentation paramétrique d’un plan, et non d’une droite.

Answer

Un même paramètre réel multiplie les composantes du vecteur directeur et s’ajoute aux coordonnées de A.

QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls vérifient $\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$ . Quelle relation cela établit-elle entre eux ?

2. Trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ vérifient $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$ . Que peut-on conclure sur ces points ?

3. Dans une configuration de l’espace, $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{v}-3\overrightarrow{w}$ . Comment décrire $\overrightarrow{u}$ par rapport à $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ?

4. On étudie trois vecteurs $\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{r}$ . Lequel des constats permet de conclure qu’ils sont linéairement indépendants ?

5. Que signifie que plusieurs vecteurs sont coplanaires ?

6. Deux droites de l’espace sont non coplanaires. Quelle propriété leur est nécessairement associée ?

7. Quel est l’objectif de chercher un plan contenant deux droites lorsqu’on veut démontrer qu’elles sont sécantes ?

8. En quoi le théorème du toit diffère-t-il du critère permettant de montrer que deux plans sont parallèles ?

9. Pourquoi une base de l’espace permet-elle d’exprimer tout vecteur de manière unique à l’aide de ses trois vecteurs ?

10. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées $(2;-1;2)$ . Comment calculer sa norme ?

11. Quelle caractéristique des coordonnées paramétriques permet d’obtenir tous les points d’une droite passant par A et de vecteur directeur non nul ?

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QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls vérifient v→=−3u→\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}v=−3u. Quelle relation cela établit-elle entre eux ?

2. Trois points distincts AAA, BBB et CCC vérifient AC→=4AB→\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}AC=4AB. Que peut-on conclure sur ces points ?

3. Dans une configuration de l’espace, u→=2v→−3w→\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{v}-3\overrightarrow{w}u=2v−3w. Comment décrire u→\overrightarrow{u}u par rapport à v→\overrightarrow{v}v et w→\overrightarrow{w}w ?

4. On étudie trois vecteurs p→,q→,r→\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{r}p​,q​,r. Lequel des constats permet de conclure qu’ils sont linéairement indépendants ?

5. Que signifie que plusieurs vecteurs sont coplanaires ?

6. Deux droites de l’espace sont non coplanaires. Quelle propriété leur est nécessairement associée ?

7. Quel est l’objectif de chercher un plan contenant deux droites lorsqu’on veut démontrer qu’elles sont sécantes ?

8. En quoi le théorème du toit diffère-t-il du critère permettant de montrer que deux plans sont parallèles ?

9. Pourquoi une base de l’espace permet-elle d’exprimer tout vecteur de manière unique à l’aide de ses trois vecteurs ?

10. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées (2;−1;2)(2;-1;2)(2;−1;2). Comment calculer sa norme ?

11. Quelle caractéristique des coordonnées paramétriques permet d’obtenir tous les points d’une droite passant par A et de vecteur directeur non nul ?

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1. Deux vecteurs non nuls vérifient $\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$ . Quelle relation cela établit-elle entre eux ?

2. Trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ vérifient $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$ . Que peut-on conclure sur ces points ?

3. Dans une configuration de l’espace, $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{v}-3\overrightarrow{w}$ . Comment décrire $\overrightarrow{u}$ par rapport à $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ?

4. On étudie trois vecteurs $\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{r}$ . Lequel des constats permet de conclure qu’ils sont linéairement indépendants ?

10. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées $(2;-1;2)$ . Comment calculer sa norme ?