Fiche de révision : Cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Trajectoire et référentiels
2. Position et coordonnées du point
3. Vitesse et dérivée de la position
4. Accélération et dérivées

📖 1. Trajectoire et référentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
• Trajectoire : Ensemble des positions successives qu’un point occupe au cours du mouvement.
• Référentiel : Objet choisi comme référence par l’observateur pour étudier un mouvement.
• Référentiel galiléen : Galiléen si le principe d’inertie, ou première loi de Newton, y est vérifié.

📝 Points essentiels

• Un référentiel associe au solide choisi un repère d’espace à trois axes et un repère de temps dont l’origine est la date $t_0=0$.

• Le référentiel terrestre est lié à la Terre ou à un objet fixe par rapport à elle et convient aux mouvements de courte durée à sa surface, comme celui d’un véhicule sur une route.

• Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes orientés vers trois étoiles lointaines supposées fixes ; il convient à l’étude de la Lune et des satellites de la Terre.

• Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil et des axes orientés vers trois étoiles lointaines supposées fixes ; il convient à l’étude des planètes du système solaire.

💡 Astuce mémo

Terrestre pour les mouvements locaux, géocentrique pour la Lune, héliocentrique pour les planètes

📖 2. Position et coordonnées du point

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations horaires de position : Expressions des coordonnées $x$, $y$ et $z$ du point en fonction du temps.

★ À maîtriser

• On représente la position d’un point $M$ dans un repère orthonormé par le vecteur position $\overrightarrow{OM}(t)$ ; ce vecteur et ses coordonnées dépendent du temps si le système n’est pas immobile.

📐 Formule - La distance entre l’origine $O$ et le point $M$ en trois dimensions vaut $\|\overrightarrow{OM}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Compléments

• L’étude des mouvements plans nécessite les coordonnées de position $x(t)$ et $y(t)$.

📖 3. Vitesse et dérivée de la position

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Dérivée du vecteur position du point par rapport au temps.
• Équations horaires de vitesse : Expressions des coordonnées $v_x$, $v_y$ et éventuellement $v_z$ en fonction du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur vitesse s’écrit $\vec{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$.

📐 Formule - Dans un repère plan, les coordonnées de la vitesse sont $v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}$ et $v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}$.

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Compléments

📐 Formule - La norme de la vitesse dans un repère plan vaut $v(t)=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}$.

📖 4. Accélération et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : Grandeur vectorielle qui représente la variation du vecteur vitesse au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}$.

📐 Formule - Dans un repère plan, les coordonnées de l’accélération vérifient $a_x(t)=\frac{dv_x(t)}{dt}=\frac{d^2x(t)}{dt^2}$ et $a_y(t)=\frac{dv_y(t)}{dt}=\frac{d^2y(t)}{dt^2}$.

Compléments

📐 Formule - Le vecteur accélération est la dérivée seconde du vecteur position : $\vec{a}(t)=\frac{d^2\overrightarrow{OM}(t)}{dt^2}$.

• Pour construire l’accélération à partir de deux vitesses, on forme $\Delta\vec{v}(t)=\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t-\Delta t)$, puis on associe à l’accélération la même direction et le même sens que cette variation.

📐 Formule - La norme de l’accélération estimée à partir de deux vitesses séparées par $2\Delta t$ vaut $a(t)=\frac{\Delta v(t)}{2\Delta t}$.

• Pour $x(t)=3t+2$ et $y(t)=-t+8$, les composantes de l’accélération sont nulles, car les composantes de la vitesse sont constantes.

💡 Astuce mémo

La variation de vitesse produit le vecteur accélération