Fiche de révision : Statistiques descriptives et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et proportions
2. Variations et coefficients multiplicateurs
3. Taux réciproques et taux moyens
4. Indices simples et changements de base
5. Population et types de variables
6. Tableaux statistiques et fréquences
7. Graphiques des distributions
8. Graphiques cumulés et résumés

📖 1. Pourcentages et proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Expression d'une proportion sur une base de 100, soit $p\% = \frac{p}{100}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le pourcentage d'une quantité $x$ se calcule par $p\% \text{ de } x = \frac{p}{100} \times x$.

📐 Formule - La proportion d'une sous-population est le rapport entre son effectif et l'effectif total : $\text{Proportion} = \frac{\text{Effectif de la sous-population}}{\text{Effectif total}}$.

Compléments

• Dans une promotion de 120 étudiants dont 48 femmes, la proportion de femmes est $\frac{48}{120}=0{,}40$, soit 40 %.

📖 2. Variations et coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : Différence entre la valeur finale et la valeur initiale, soit $V_f - V_i$, exprimée dans la même unité que la grandeur étudiée.
• Coefficient multiplicateur : Rapport $CM=\frac{V_f}{V_i}$ qui permet de passer de la valeur initiale à la valeur finale, selon $V_f=CM\times V_i$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux d'évolution entre une valeur initiale $V_i$ et une valeur finale $V_f$ est $t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$, et s'exprime souvent en pourcentage.

📌 Pour un taux d'évolution décimal $t$, le coefficient multiplicateur vaut $1+t$ en cas d'augmentation et $1-t$ en cas de diminution.

Compléments

📌 Si $V_f-V_i>0$, la valeur augmente ; si $V_f-V_i<0$, elle diminue ; et si $V_f-V_i=0$, elle ne varie pas.

• Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % transforme 100 en 120 puis en 96, car les coefficients se multiplient : $1{,}20\times0{,}80=0{,}96$ ; la variation globale est de −4 %.

💡 Astuce mémo

La variation absolue compte les euros ; le taux rapporte la variation à la valeur initiale.

📖 3. Taux réciproques et taux moyens

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d'évolution moyen : Taux unique qui produit la même évolution globale sur $n$ périodes ; si le coefficient global est $CM$, alors $t_{\text{moyen}}=\sqrt[n]{CM}-1$.

★ À maîtriser

📌 Après une baisse de taux décimal $t$, le coefficient multiplicateur réciproque est $\frac{1}{1-t}$ et le taux réciproque est $t_r=\left(\frac{1}{1-t}-1\right)\times100$.

Compléments

• Pour calculer un taux d'évolution moyen, on calcule le coefficient global $CM=\frac{V_f}{V_i}$, puis le coefficient moyen $CM_{\text{moyen}}=\sqrt[n]{CM}$, et enfin le taux moyen $t_{\text{moyen}}=CM_{\text{moyen}}-1$.

• Pour des évolutions de +20 % puis +10 % sur deux années, le coefficient global est 1,32 et le taux moyen est $\sqrt{1{,}32}-1=14{,}89\%$, différent de la moyenne arithmétique de 15 %.

📖 4. Indices simples et changements de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice simple : Mesure l'évolution d'une grandeur par rapport à une période de référence appelée base, fixée à 100.

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec $V_0$ comme valeur de référence et $V_t$ comme valeur observée, l'indice simple est $I_t=\frac{V_t}{V_0}\times100$ ; 100 indique aucune évolution, un indice supérieur à 100 une augmentation et un indice inférieur à 100 une diminution.

📐 Formule - L'indice simple et le coefficient multiplicateur sont liés par $I=100\times CM$ et $CM=\frac{I}{100}$.

Compléments

📌 Pour changer la base d'un indice vers une période de référence dont l'indice est $I_b$, on calcule le nouvel indice par $I'_t=\frac{I_t}{I_b}\times100$ ; ce changement ne modifie pas les taux d'évolution entre deux dates.

📌 Pour calculer un taux d'évolution entre deux dates à partir d'indices, il faut revenir aux coefficients multiplicateurs plutôt que soustraire les indices.

📖 5. Population et types de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des individus sur lesquels porte l'étude.
• Caractère : Propriété observée sur chaque individu.
• Individu : Élément de la population étudiée.

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative décrit une catégorie, tandis qu'une variable quantitative est numérique.

📌 Une variable discrète prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs, tandis qu'une variable continue peut prendre toute valeur d'un intervalle.

Compléments

• Les exemples de variables qualitatives sont le sexe, la couleur, la filière et la nationalité ; les exemples de variables quantitatives sont la taille, l'âge, le salaire et la note.

💡 Astuce mémo

Population → individus → caractère → variable.

📖 6. Tableaux statistiques et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Modalité : Les différentes valeurs prises par le caractère.
• Effectif d'une modalité : Nombre d'individus qui possèdent cette modalité.
• Effectif cumulé : Obtenu en additionnant les effectifs jusqu'à cette modalité.
• Fréquence cumulée : Obtenue en additionnant les fréquences successives jusqu'à cette modalité.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L'effectif total est la somme des effectifs des modalités : $N=\sum_i n_i$.

📐 Formule - La fréquence de la modalité $i$ est le rapport entre son effectif et l'effectif total : $f_i=\frac{n_i}{N}$ ; la somme des fréquences vaut 1.

📖 7. Graphiques des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme circulaire : Représentation de la répartition d'une population par des secteurs proportionnels aux fréquences, dont la somme représente 100 %.

★ À maîtriser

• Un diagramme en bâtons représente une variable qualitative ou quantitative discrète ; chaque modalité correspond à un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence.

• Un histogramme représente une variable quantitative continue regroupée en classes ; chaque rectangle a une largeur égale à l'amplitude de sa classe et une hauteur proportionnelle à l'effectif, ou à la densité si les amplitudes diffèrent.

Compléments

📌 Dans un histogramme, les rectangles sont collés les uns aux autres, contrairement aux bâtons séparés du diagramme en bâtons.

• Le polygone des fréquences s'obtient en reliant les sommets des bâtons ou les centres des classes.

💡 Astuce mémo

Bâtons séparés pour le discret ; rectangles collés pour le continu.

📖 8. Graphiques cumulés et résumés

🔑 Notions clés & Définitions

• Ogive des fréquences cumulées : Représentation des fréquences cumulées qui permet de déterminer graphiquement la médiane, les quartiles et les percentiles.
• Boîte à moustaches : Résumé d'une série par cinq valeurs : le minimum, le premier quartile $Q_1$, la médiane, le troisième quartile $Q_3$ et le maximum.

★ À maîtriser

📌 Le choix d'un graphique dépend de la nature des données et de l'objectif de l'étude ; il n'existe pas de graphique idéal unique.

Compléments

• La boîte à moustaches permet de visualiser la dispersion des données, la position de la médiane et une éventuelle dissymétrie.

• Les représentations graphiques permettent de :

  • Visualiser la distribution des données.
  • Comparer plusieurs séries.
  • Détecter des valeurs atypiques.
  • Mettre en évidence des tendances.

📊 Tableaux de synthèse

Diagramme en bâtons et histogramme