Fiche de révision : Statistiques descriptives et tests

📋 Plan du Cours

1. Lois discrètes binomiale et Poisson
2. Lois continues usuelles
3. Estimation et tests sur les moyennes
4. Estimation et tests sur les proportions
5. Tests du khi-deux sur répartitions
6. Lois continues en annexe

📖 1. Lois discrètes binomiale et Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n,p) si elle prend les valeurs de 0 à n et si $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour chaque k de 0 à n.
• Loi de Poisson : Loi discrète prenant ses valeurs dans ℕ, avec $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ pour tout k de ℕ.

★ À maîtriser

• Pour une variable X de loi B(n,p), $E(X)=np$ et $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$.

• Pour une variable X de loi P(λ), son espérance et sa variance valent toutes deux λ.

Compléments

📌 Si X suit B(n,p), avec n≥30, p≤0,1 et np≤10, on peut l’approcher par une loi de Poisson P(λ) de paramètre λ=np.

💡 Astuce mémo

Binomiale : nombre fini d’essais ; Poisson : valeurs dans ℕ.

📖 2. Lois continues usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme : Loi continue de densité $f(t)=\frac{1}{b-a}$ pour t∈[a,b] et 0 ailleurs.
• Loi exponentielle : Loi continue de densité nulle pour t<0 et $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ pour t≥0.
• Loi de Weibull : Loi continue de densité nulle pour t<0 et $f(t)=\frac{a}{b}\left(\frac{t}{b}\right)^{a-1}\exp\left[-\left(\frac{t}{b}\right)^a\right]$ pour t≥0.

★ À maîtriser

📌 La loi exponentielle est sans mémoire car $P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)$ pour tous s,t>0.

Compléments

• Pour une loi uniforme sur [a,b], $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$.

• Pour une loi exponentielle de paramètre λ, $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$.

• Lorsque a=1, la loi de Weibull retrouve la loi exponentielle.

📖 3. Estimation et tests sur les moyennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne empirique : La moyenne empirique d’un échantillon de taille n est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ et constitue l’estimateur de la moyenne μ de la population.
• Variance empirique : La variance empirique corrigée est $S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ et estime la variance σ² de la population.

★ À maîtriser

📌 Pour tester une moyenne μ contre μ₀, la statistique est $T=\frac{M_n-\mu_0}{S_n/\sqrt{n}}$, avec H₀: μ=μ₀ et une alternative bilatérale ou unilatérale.

📌 Pour comparer deux moyennes sur de grands échantillons, la statistique $T=\frac{M_1-M_2}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}$ suit une loi normale centrée réduite si n₁ et n₂ sont supérieurs à 30.

Compléments

• Pour un grand échantillon, M_n suit approximativement une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ/√n.

• La variable $\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}$ suit une loi du khi-deux à n−1 degrés de liberté.

• Pour deux petits échantillons issus de populations normales de même variance, on utilise $S^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$ et la statistique $T=\frac{M_1-M_2}{\sqrt{S^2/n_1+S^2/n_2}}$, qui suit une loi de Student à n₁+n₂−2 degrés de liberté.

• La moyenne empirique vérifie $E(M_n)=\mu$ et $\operatorname{Var}(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}$.

💡 Astuce mémo

Grand échantillon : normale ; petit échantillon normal : Student.

📖 4. Estimation et tests sur les proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion empirique : La proportion empirique P_n est la proportion des individus de l’échantillon présentant la caractéristique C et estime la proportion de population π.

★ À maîtriser

📌 Pour tester une proportion π contre π₀, la statistique est $T=\frac{P_n-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}$ et elle est approximativement normale si n≥30, nπ₀>5 et n(1−π₀)>5.

📌 Pour comparer deux proportions, on pose $P=\frac{n_1P_1+n_2P_2}{n_1+n_2}$ et $T=\frac{P_1-P_2}{\sqrt{P(1-P)(1/n_1+1/n_2)}}$ ; cette statistique est approximativement normale si les deux effectifs dépassent 30 et si les effectifs attendus de succès et d’échecs dépassent 5 dans chaque échantillon.

Compléments

📌 Si n≥30, nπ≥5 et n(1−π)≥5, P_n suit approximativement une loi normale de moyenne π et d’écart-type $\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$.

• La proportion empirique vérifie $E(P_n)=\pi$ et $\operatorname{Var}(P_n)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}$.

📖 5. Tests du khi-deux sur répartitions

★ À maîtriser

📐 Formule - La statistique générale du khi-deux est $Q=\sum\frac{(\text{effectif observé}-\text{effectif théorique})^2}{\text{effectif théorique}}$.

• Dans un test du khi-deux de conformité à k catégories, les hypothèses sont H₀: πᵢ=pᵢ pour toutes les catégories et H₁: au moins une proportion diffère ; les effectifs théoriques sont npᵢ.

• Dans un test du khi-deux d’homogénéité, la proportion théorique commune est $p_i=\frac{n_i+n'_i}{n+n'}$ et les hypothèses opposent l’égalité des proportions des deux populations à leur différence.

• Dans un test d’indépendance entre deux caractères répartis en L et C catégories, les effectifs théoriques sous H₀ sont $e_{ij}=\frac{n_{i.}n_{.j}}{n}$.

Compléments

• Pour le test du khi-deux de conformité, $q=\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}$ et, si n≥30 et npᵢ>5 pour chaque catégorie, Q suit une loi du khi-deux à k−1 degrés de liberté.

• Pour le test du khi-deux d’homogénéité, Q additionne les contributions des deux échantillons et suit approximativement une loi du khi-deux à k−1 degrés de liberté si n,n′≥30 et si npᵢ,n′pᵢ>5 pour chaque catégorie.

• Pour le test du khi-deux d’indépendance, $q=\sum_{i=1}^{L}\sum_{j=1}^{C}\frac{(n_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$ et Q suit une loi du khi-deux à (L−1)(C−1) degrés de liberté si n≥30 et eᵢⱼ>5 pour toutes les cases.

💡 Astuce mémo

Conformité : une population ; homogénéité : deux populations ; indépendance : deux caractères.

📖 6. Lois continues en annexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Loi continue de densité $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ ; son espérance est μ et sa variance σ².
• Loi du khi-deux : Y suit une loi du khi-deux à d degrés de liberté si $Y=X_1^2+\cdots+X_d^2$, où les Xᵢ sont indépendantes et suivent N(0,1).
• Loi de Student : T suit une loi de Student à d degrés de liberté si $T=\frac{X}{\sqrt{Y/d}}$, où X suit N(0,1), Y suit une loi du khi-deux à d degrés de liberté, et X et Y sont indépendantes.

📝 Points essentiels

• Si X suit N(μ,σ), alors $\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite N(0,1).

• Si X₁ et X₂ sont indépendantes et suivent respectivement N(μ₁,σ₁) et N(μ₂,σ₂), alors αX₁+βX₂ suit $N\left(\alpha\mu_1+\beta\mu_2,\sqrt{\alpha^2\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2}\right)$.

• Une loi de Student à grand nombre de degrés de liberté, par exemple d>30, est approximativement une loi normale centrée réduite.

• Pour X de loi log-normale Log N(μ,σ), $E(X)=e^{\mu+\sigma^2/2}$, $\operatorname{Var}(X)=(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$ et son mode vaut $e^{\mu-\sigma^2}$.

• Pour une loi du khi-deux à d degrés de liberté, $E(Y)=d$ et $\operatorname{Var}(Y)=2d$.

• Pour une loi de Student à d degrés de liberté, l’espérance vaut 0 si d>1 et la variance vaut $\frac{d}{d-2}$ si d>2.