Flashcards : Statistiques descriptives et tests (48 cartes)

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1Question

Quelles valeurs peut prendre une variable suivant la loi binomiale $B(n,p)$ ?

Réponse

De $0$ à $n$ .

2Question

Quelle formule donne $P(X=k)$ pour une variable suivant la loi binomiale $B(n,p)$ ?

Réponse

$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .

3Question

Quelle est l’espérance d’une variable suivant la loi binomiale $B(n,p)$ ?

Réponse

$np$ .

4Question

Quelle est la variance d’une variable suivant la loi binomiale $B(n,p)$ ?

Réponse

$np(1-p)$ .

5Question

Quelles valeurs peut prendre une variable suivant la loi de Poisson $P(\lambda)$ ?

Réponse

Les entiers naturels $\mathbb{N}$ .

6Question

Quelle formule donne $P(X=k)$ pour une variable suivant la loi de Poisson $P(\lambda)$ ?

Réponse

$\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ .

7Question

Quelle est l’espérance d’une variable suivant la loi de Poisson $P(\lambda)$ ?

Réponse

$\lambda$ .

8Question

Quelle densité caractérise la loi uniforme sur $[a,b]$ ?

Réponse

$f(t)=\frac{1}{b-a}$ sur $[a,b]$ et $0$ ailleurs.

9Question

Quelle densité caractérise la loi exponentielle $E(\lambda)$ pour $\lambda>0$ ?

Réponse

Elle vaut $0$ pour $t<0$ et $\lambda e^{-\lambda t}$ pour $t\geq 0$ .

10Question

Quelle propriété de probabilité exprime l’absence de mémoire de la loi exponentielle ?

Réponse

$P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)$ pour $s,t>0$ .

11Question

Quelle est la formule de la moyenne empirique d’un échantillon de taille $n$ ?

Réponse

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

12Question

Quelle est la formule de la variance empirique corrigée ?

Réponse

$S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

13Question

Quelle statistique teste $H_0: \mu=\mu_0$ pour une moyenne ?

Réponse

$T=\frac{M_n-\mu_0}{S_n/\sqrt{n}}$

14Question

Quelle loi suit la statistique comparant deux moyennes si $n_1,n_2>30$ ?

Réponse

Une loi normale centrée réduite.

15Question

Que représente la proportion empirique $P_n$ dans un échantillon ?

Réponse

La proportion d’individus présentant la caractéristique $C$ .

16Question

Quelle proportion de population la proportion empirique $P_n$ estime-t-elle ?

Réponse

La proportion de population $\pi$ .

17Question

Quelle statistique teste $\pi$ contre $\pi_0$ ?

Réponse

$T=\frac{P_n-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}$ .

18Question

Quelle condition rend approximativement normale la statistique de comparaison de deux proportions ?

Réponse

Les deux effectifs dépassent 30 et les effectifs attendus de succès et d’échecs dépassent 5 dans chaque échantillon.

19Question

Quelle est la formule de la statistique générale du khi-deux ?

Réponse

$Q=\sum\frac{(\text{effectif observé}-\text{effectif théorique})^2}{\text{effectif théorique}}$

20Question

Quelles hypothèses oppose un test du khi-deux de conformité ?

Réponse

$H_0:\pi_i=p_i$ pour toutes les catégories ; $H_1$ : au moins une proportion diffère.

21Question

Quels sont les effectifs théoriques d’un test du khi-deux de conformité ?

Réponse

$np_i$ pour la catégorie $i$ .

22Question

Quelle est la proportion théorique commune en test du khi-deux d’homogénéité ?

Réponse

$p_i=\frac{n_i+n'_i}{n+n'}$

23Question

Comment calcule-t-on l’effectif théorique d’une case en test du khi-deux d’indépendance ?

Réponse

$e_{ij}=\frac{n_{i.}n_{.j}}{n}$

24Question

Quelle densité caractérise la loi normale $N(\mu,\sigma)$ ?

Réponse

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

25Question

Comment définit-on une loi du khi-deux à $d$ degrés de liberté ?

Réponse

Comme la loi de la somme des carrés de $d$ variables indépendantes de loi $N(0,1)$ .

26Question

Quelle expression définit une loi de Student à $d$ degrés de liberté ?

Réponse

$T=\frac{X}{\sqrt{Y/d}}$ , avec $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ et $Y\sim\chi^2_d$ indépendantes.

27Question

Par quelle loi peut-on approcher $X\sim B(n,p)$ lorsque les conditions d’approximation sont réunies ?

Réponse

Par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=np$ .

28Question

Quelle est l’espérance d’une loi uniforme sur $[a,b]$ ?

Réponse

$\frac{a+b}{2}$ .

29Question

Quelle est la variance d’une loi uniforme sur $[a,b]$ ?

Réponse

$\frac{(b-a)^2}{12}$ .

30Question

Quelle est l’espérance d’une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ?

Réponse

$\frac{1}{\lambda}$ .

31Question

Quelle densité caractérise la loi de Weibull $W(a,b)$ pour $a,b>0$ ?

Réponse

Elle vaut $0$ pour $t<0$ et $\frac{a}{b}\left(\frac{t}{b}\right)^{a-1}\exp\left[-\left(\frac{t}{b}\right)^a\right]$ pour $t\geq 0$ .

32Question

Quelle loi retrouve la loi de Weibull lorsque $a=1$ ?

Réponse

La loi exponentielle.

33Question

Quelle est l’espérance de la moyenne empirique $M_n$ ?

Réponse

$E(M_n)=\mu$

34Question

Quelle est la loi approximative de $M_n$ pour un grand échantillon ?

Réponse

Une loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

35Question

Quelle loi suit $\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}$ et avec combien de degrés de liberté ?

Réponse

Une loi du khi-deux à $n-1$ degrés de liberté.

36Question

Quelle loi suit la statistique de comparaison de deux petites moyennes normales à variance égale ?

Réponse

Une loi de Student à $n_1+n_2-2$ degrés de liberté.

37Question

Quelle est l’espérance de la proportion empirique $P_n$ ?

Réponse

$E(P_n)=\pi$ .

38Question

Quelle est la variance de la proportion empirique $P_n$ ?

Réponse

$\operatorname{Var}(P_n)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}$ .

39Question

Quelles conditions permettent d’approcher $P_n$ par une loi normale ?

Réponse

$n\geq30$ , $n\pi\geq5$ et $n(1-\pi)\geq5$ .

40Question

Quelle est la moyenne de la loi normale approchant $P_n$ ?

Réponse

$\pi$ .

41Question

Quelle statistique calcule-t-on pour un test du khi-deux de conformité ?

Réponse

$q=\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}$

42Question

Quelles conditions permettent d’approximer la loi de Q dans le test du khi-deux d’homogénéité ?

Réponse

Il faut que $n,n'\geq 30$ et que $np_i,n'p_i>5$ pour chaque catégorie.

43Question

Quelle statistique calcule-t-on pour un test du khi-deux d’indépendance ?

Réponse

$q=\sum_{i=1}^{L}\sum_{j=1}^{C}\frac{(n_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$

44Question

Quelle loi suit $\frac{X-\mu}{\sigma}$ si $X\sim N(\mu,\sigma)$ ?

Réponse

La loi normale centrée réduite $N(0,1)$ .

45Question

Quelle loi suit $\alpha X_1+\beta X_2$ pour deux normales indépendantes ?

Réponse

$N\left(\alpha\mu_1+\beta\mu_2,\sqrt{\alpha^2\sigma_1^2+\beta^2\sigma_2^2}\right)$

46Question

Quelle est l’espérance de $X$ si $X\sim\operatorname{LogN}(\mu,\sigma)$ ?

Réponse

$e^{\mu+\sigma^2/2}$

47Question

Quelle est l’espérance d’une loi du khi-deux à $d$ degrés de liberté ?

Réponse

$d$

48Question

Quelle est l’espérance d’une loi de Student à $d>1$ degrés de liberté ?

Réponse

$0$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 21 questions sur Statistiques descriptives et tests.

1. Quelle caractérisation décrit une variable aléatoire suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

2. Une variable $X$ suit une loi binomiale $B(20,0{,}3)$ . Quelles sont son espérance et sa variance ?

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