QCM : Statistiques descriptives et tests (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractérisation décrit une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p)B(n,p) ?

Elle prend des valeurs positives et sa densité décroît exponentiellement.
Elle prend les valeurs de 0 à nn et ses probabilités suivent la formule binomiale.
Elle prend des valeurs réelles entre 0 et nn avec une densité constante.
Elle prend toute valeur entière naturelle et ses probabilités suivent la formule de Poisson.

Elle prend les valeurs de 0 à $$n$$ et ses probabilités suivent la formule binomiale.

Explication

Une variable binomiale prend les valeurs entières de 0 à nn et sa probabilité en kk est donnée par la formule faisant intervenir nn, pp et kk. La loi de Poisson, contrairement à la loi binomiale, n’impose pas cette borne supérieure nn.

2. Une variable XX suit une loi binomiale B(20,0,3)B(20,0{,}3). Quelles sont son espérance et sa variance ?

Son espérance vaut 4,2 et sa variance vaut 6.
Son espérance vaut 6 et sa variance vaut 6.
Son espérance vaut 20 et sa variance vaut 0,3.
Son espérance vaut 6 et sa variance vaut 4,2.

Son espérance vaut 6 et sa variance vaut 4,2.

Explication

Pour une loi binomiale, l’espérance est npnp et la variance est np(1−p)np(1-p), soit respectivement 6 et 4,2 ici. La valeur 6 pour la variance confond l’espérance avec la variance et omet le facteur 1−p1-p.

3. Quelle propriété caractérise les valeurs possibles d’une variable de loi de Poisson P(λ)P(\lambda) ?

Elle prend ses valeurs entières de 0 à un nombre d’essais nn.
Elle prend des valeurs réelles dans un intervalle borné avec une densité constante.
Elle prend ses valeurs dans N\mathbb{N}, sans borne supérieure fixée par un nombre d’essais.
Elle prend toute valeur réelle positive avec une densité exponentielle.

Elle prend ses valeurs dans $$\mathbb{N}$$, sans borne supérieure fixée par un nombre d’essais.

Explication

Une variable de Poisson prend ses valeurs dans N\mathbb{N} et sa probabilité en kk est donnée par λkk!e−λ\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}. La limitation de 0 à nn caractérise plutôt les valeurs possibles d’une variable binomiale.

4. Pour une variable aléatoire XX de loi de Poisson P(λ)P(\lambda), quel lien existe entre son espérance et sa variance ?

L’espérance vaut λ2\lambda^2 et la variance vaut λ\lambda.
L’espérance vaut 1/λ1/\lambda et la variance vaut 1/λ21/\lambda^2.
Elles valent toutes deux λ\lambda.
L’espérance vaut λ\lambda et la variance vaut λ(1−λ)\lambda(1-\lambda).

Elles valent toutes deux $$\lambda$$.

Explication

Pour une loi de Poisson, l’espérance et la variance sont toutes deux égales au paramètre λ\lambda. Les expressions en puissances inverses correspondent aux moments d’une loi exponentielle, pas à ceux d’une loi de Poisson.

5. Une variable continue est uniforme sur [a,b][a,b]. Quelle est sa densité sur cet intervalle et en dehors ?

Elle vaut 1b−a\frac{1}{b-a} pour toute valeur réelle.
Elle vaut 1a+b\frac{1}{a+b} sur [a,b][a,b] et 0 ailleurs.
Elle vaut λe−λt\lambda e^{-\lambda t} pour t≥0t\geq 0 et 0 pour t<0t<0.
Elle vaut 1b−a\frac{1}{b-a} sur [a,b][a,b] et 0 ailleurs.

Elle vaut $$\frac{1}{b-a}$$ sur $$[a,b]$$ et 0 ailleurs.

Explication

La densité uniforme est constante, égale à 1b−a\frac{1}{b-a} sur l’intervalle, et nulle à l’extérieur. Une densité exponentielle décroissante sur les valeurs positives ne décrit pas la loi uniforme.

6. Quelle densité correspond à une loi exponentielle E(λ)E(\lambda) ?

Elle vaut λe−λt\lambda e^{-\lambda t} pour tout réel tt.
Elle vaut 1b−a\frac{1}{b-a} sur un intervalle [a,b][a,b] et 0 ailleurs.
Elle vaut 0 pour t<0t<0 et λe−λt\lambda e^{-\lambda t} pour t≥0t\geq 0.
Elle vaut 0 pour t≥0t\geq 0 et λeλt\lambda e^{\lambda t} pour t<0t<0.

Elle vaut 0 pour $$t<0$$ et $$\lambda e^{-\lambda t}$$ pour $$t\geq 0$$.

Explication

La densité exponentielle est nulle pour les temps négatifs et vaut λe−λt\lambda e^{-\lambda t} pour les temps non négatifs. L’expression exponentielle définie sur tous les réels ne respecte pas le support de cette loi.

7. Une durée XX suit une loi exponentielle. Quelle égalité exprime sa propriété sans mémoire pour s,t>0s,t>0 ?

P(X>s+t∣X>t)=P(X>s+t)P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s+t)
P(X>s+t∣X>t)=P(X>s)P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)
P(X>s+t∣X>t)=P(X>t)P(X>s+t\mid X>t)=P(X>t)
P(X>s+t∣X>t)=P(X>t+s∣X>s)P(X>s+t\mid X>t)=P(X>t+s\mid X>s)

$$P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)$$

Explication

La propriété sans mémoire indique que, sachant que la durée a déjà dépassé tt, la probabilité qu’elle dépasse encore de ss est P(X>s)P(X>s). La probabilité de dépasser tt ne décrit pas cette durée résiduelle.

8. Comment calcule-t-on la moyenne empirique d’un échantillon de taille nn ?

On soustrait la plus petite observation de la plus grande et on divise par nn.
On additionne les carrés des observations et on divise par nn.
On additionne les observations et on divise leur somme par nn.
On additionne les écarts à la moyenne et on divise par n−1n-1.

On additionne les observations et on divise leur somme par $$n$$.

Explication

La moyenne empirique est la somme des observations divisée par leur nombre, et elle estime la moyenne de la population. La division par n−1n-1 intervient dans la variance empirique corrigée, pas dans le calcul de la moyenne.

9. Quelle expression définit la variance empirique corrigée d’un échantillon ?

Sn2=1n∑i=1nxiS_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
Sn2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
Sn2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
Sn2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})

$$S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Explication

La variance empirique corrigée est la somme des carrés des écarts à la moyenne empirique divisée par n−1n-1; elle estime la variance de la population. Diviser cette somme par nn donne une variance non corrigée, et non l’expression demandée.

10. Pour tester si la moyenne d’une population est égale à une valeur de référence μ0\mu_0, quelle statistique utilise-t-on ?

T=Mn−μ0σ/nT=\frac{M_n-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
T=Mn−μ0SnnT=\frac{M_n-\mu_0}{S_n\sqrt{n}}
T=Mn−μ0Sn/nT=\frac{M_n-\mu_0}{S_n/n}
T=Mn−μ0Sn/nT=\frac{M_n-\mu_0}{S_n/\sqrt{n}}

$$T=\frac{M_n-\mu_0}{S_n/\sqrt{n}}$$

Explication

Le test de conformité d’une moyenne utilise l’écart entre la moyenne empirique et μ0\mu_0, rapporté à l’erreur-type estimée Sn/nS_n/\sqrt{n}. Comparer deux moyennes distinctes relève plutôt d’un test d’homogénéité.

11. Deux échantillons indépendants ont chacun plus de 30 observations. Quelle statistique sert à comparer leurs moyennes dans ce cas ?

T=M1−M2S12+S22T=\frac{M_1-M_2}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}
T=M1−M2S12/n1+S22/n2T=\frac{M_1-M_2}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}
T=M1−M2S1/n1+S2/n2T=\frac{M_1-M_2}{S_1/n_1+S_2/n_2}
T=M1−M2(S12+S22)/(n1+n2)T=\frac{M_1-M_2}{\sqrt{(S_1^2+S_2^2)/(n_1+n_2)}}

$$T=\frac{M_1-M_2}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}$$

Explication

Pour de grands échantillons, l’erreur-type de la différence utilise séparément les variances estimées, divisées chacune par la taille de leur échantillon. La variance poolée correspond à une autre approche, notamment au test sur petits échantillons à variances égales.

12. Dans un échantillon, que représente la proportion empirique PnP_n ?

La proportion des individus échantillonnés présentant la caractéristique étudiée, utilisée pour estimer celle de la population
La proportion théorique fixée comme hypothèse dans un test de conformité
La proportion des individus de la population ne présentant pas la caractéristique étudiée
La proportion des individus échantillonnés présentant une caractéristique différente de celle étudiée

La proportion des individus échantillonnés présentant la caractéristique étudiée, utilisée pour estimer celle de la population

Explication

La proportion empirique mesure la fréquence de la caractéristique dans l’échantillon et sert à estimer la proportion correspondante dans la population. La proportion de référence d’un test est une valeur hypothétique, et non la fréquence observée dans l’échantillon.

13. Pour tester une proportion de population contre la valeur de référence π0\pi_0, quelle expression doit figurer au dénominateur de la statistique de test ?

L’erreur-type calculée avec π0\pi_0 et 1−π01-\pi_0, divisée par la racine carrée de l’effectif
L’erreur-type calculée avec π\pi et 1−π1-\pi, divisée par la racine carrée de l’effectif
L’erreur-type calculée avec PnP_n et 1−Pn1-P_n, divisée par la racine carrée de l’effectif
L’erreur-type calculée avec la différence entre PnP_n et π0\pi_0, divisée par l’effectif

L’erreur-type calculée avec $$\pi_0$$ et $$1-\pi_0$$, divisée par la racine carrée de l’effectif

Explication

Sous l’hypothèse testée, le dénominateur utilise la proportion de référence π0\pi_0 et vaut π0(1−π0)/n\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}. Utiliser la proportion de population inconnue π\pi correspond à l’expression de la variance de PnP_n pour l’estimation, et non à cette statistique de conformité.

14. Lors d’un test d’homogénéité comparant deux proportions, quelle proportion intervient dans le dénominateur de la statistique ?

La proportion de référence π0\pi_0, choisie pour le test d’une seule population
La proportion du premier échantillon, utilisée comme estimation commune aux deux groupes
La moyenne non pondérée de P1P_1 et P2P_2, quels que soient les effectifs
La proportion poolée P=n1P1+n2P2n1+n2P=\frac{n_1P_1+n_2P_2}{n_1+n_2}, calculée à partir des deux échantillons

La proportion poolée $$P=\frac{n_1P_1+n_2P_2}{n_1+n_2}$$, calculée à partir des deux échantillons

Explication

Le test d’homogénéité combine les deux échantillons au moyen de la proportion poolée, qui tient compte de leurs effectifs. La proportion de référence π0\pi_0 appartient plutôt au test de conformité d’une proportion à une valeur donnée.

15. Comment une statistique générale du khi-deux mesure-t-elle l’écart entre les observations et le modèle théorique ?

Elle additionne, pour chaque catégorie, l’écart observé-théorique divisé par l’effectif observé
Elle additionne, pour chaque catégorie, le produit des effectifs observé et théorique divisé par leur écart
Elle additionne, pour chaque catégorie, l’écart observé-théorique au carré divisé par l’effectif observé
Elle additionne, pour chaque catégorie, l’écart observé-théorique au carré divisé par l’effectif théorique

Elle additionne, pour chaque catégorie, l’écart observé-théorique au carré divisé par l’effectif théorique

Explication

Chaque contribution au khi-deux est le carré de l’écart entre effectif observé et effectif théorique, rapporté à l’effectif théorique. Rapporter cet écart à l’effectif observé change la statistique et ne correspond pas à sa définition générale.

16. Dans un test du khi-deux de conformité à kk catégories, quelles hypothèses sont comparées ?

Sous H0H_0, deux caractères sont indépendants ; sous H1H_1, ils présentent une association
Sous H0H_0, les proportions égalent les valeurs de référence dans chaque catégorie ; sous H1H_1, au moins une diffère
Sous H0H_0, les effectifs observés égalent les effectifs théoriques dans chaque échantillon séparément
Sous H0H_0, les proportions sont égales dans deux populations ; sous H1H_1, elles diffèrent dans ces populations

Sous $$H_0$$, les proportions égalent les valeurs de référence dans chaque catégorie ; sous $$H_1$$, au moins une diffère

Explication

Le test de conformité vérifie si les proportions des catégories correspondent aux proportions de référence, l’alternative indiquant qu’au moins une s’en écarte. L’égalité des proportions entre deux populations relève plutôt du test d’homogénéité.

17. Dans un test du khi-deux d’homogénéité, comment calcule-t-on la proportion théorique commune de la catégorie ii ?

En divisant l’effectif total des deux échantillons par la somme des effectifs de cette catégorie
En faisant la moyenne simple des proportions de cette catégorie dans les deux échantillons
En divisant la somme des effectifs de cette catégorie dans les deux échantillons par l’effectif total des deux échantillons
En divisant l’effectif de cette catégorie dans le premier échantillon par l’effectif total de ce seul échantillon

En divisant la somme des effectifs de cette catégorie dans les deux échantillons par l’effectif total des deux échantillons

Explication

La proportion commune est calculée en regroupant les effectifs de la catégorie puis en les rapportant au total des deux échantillons. Une moyenne simple des proportions ne tient pas nécessairement compte des différences entre les effectifs des échantillons.

18. Dans un test d’indépendance entre deux caractères, quel effectif théorique attribue-t-on à la cellule située à la ligne ii et à la colonne jj sous H0H_0 ?

Le produit du total de la ligne ii et du total de la colonne jj, divisé par l’effectif total
Le produit de l’effectif observé dans la cellule et de l’effectif total, divisé par les deux totaux marginaux
La somme du total de la ligne ii et du total de la colonne jj, divisée par l’effectif total
La différence entre le total de la ligne ii et le total de la colonne jj, rapportée à l’effectif total

Le produit du total de la ligne $$i$$ et du total de la colonne $$j$$, divisé par l’effectif total

Explication

Sous l’hypothèse d’indépendance, l’effectif théorique est le produit des deux totaux marginaux divisé par le total général. Additionner les marges ne traduit pas la relation d’indépendance utilisée pour calculer l’effectif attendu.

19. Une variable continue suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma ; quelles sont alors son espérance et sa variance ?

Son espérance est σ\sigma et sa variance est μ2\mu^2
Son espérance est μ2\mu^2 et sa variance est σ\sigma
Son espérance est μ\mu et sa variance est σ2\sigma^2
Son espérance est σ2\sigma^2 et sa variance est μ\mu

Son espérance est $$\mu$$ et sa variance est $$\sigma^2$$

Explication

Pour une loi normale notée N(μ,σ)N(\mu,\sigma), le paramètre μ\mu est l’espérance et la variance vaut le carré de l’écart-type σ\sigma. Intervertir les paramètres confond le centre de la distribution avec sa dispersion.

20. Quelle construction caractérise une variable YY suivant une loi du khi-deux à dd degrés de liberté ?

La somme des carrés de dd variables normales centrées réduites indépendantes
Le rapport d’une variable normale centrée réduite par la racine d’une variable du khi-deux normalisée
Le carré d’une variable normale centrée réduite divisé par le nombre de degrés de liberté
La somme de dd variables normales centrées réduites indépendantes sans les élever au carré

La somme des carrés de $$d$$ variables normales centrées réduites indépendantes

Explication

Une loi du khi-deux à dd degrés de liberté est construite en additionnant les carrés de dd variables indépendantes suivant N(0,1)N(0,1). Le rapport faisant intervenir une normale et une variable du khi-deux caractérise plutôt la loi de Student.

21. Si XX suit N(0,1)N(0,1) et si YY suit une loi du khi-deux à dd degrés de liberté, avec indépendance entre elles, quelle expression suit une loi de Student à dd degrés de liberté ?

X2+YX^2+Y
YX2/d\frac{Y}{\sqrt{X^2/d}}
XY\frac{X}{\sqrt{Y}}
XY/d\frac{X}{\sqrt{Y/d}}

$$\frac{X}{\sqrt{Y/d}}$$

Explication

La loi de Student est définie par le rapport de la variable normale centrée réduite à la racine de Y/dY/d, où YY suit la loi du khi-deux. Une somme de carrés de normales correspond à la construction du khi-deux, et non à ce rapport normalisé.

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Quelles valeurs peut prendre une variable suivant la loi binomiale B(n,p)B(n,p) ?

De 00 à nn.

Quelle formule donne P(X=k)P(X=k) pour une variable suivant la loi binomiale B(n,p)B(n,p) ?

(nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.

Quelle est l’espérance d’une variable suivant la loi binomiale B(n,p)B(n,p) ?

npnp.

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