Fiche de révision : Statistiques et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et caractères statistiques
2. Fréquences et moyennes statistiques
3. Médiane et quartiles
4. Dispersion des séries statistiques
5. Notions fondamentales de probabilité
6. Opérations sur les événements
7. Arbres et probabilités totales
8. Conditionnement et formule de Bayes
9. Indépendance des événements
10. Proportions et tableaux croisés
11. Construire et exploiter un arbre

📖 1. Vocabulaire et caractères statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : L’ensemble des individus étudiés.
• Effectif total : Le nombre total d’individus étudiés.
• Caractère : Une propriété étudiée dans une population.
• Individu : Un élément appartenant à la population étudiée.

📝 Points essentiels

📌 Un caractère qualitatif ne s’exprime pas par un nombre, tandis qu’un caractère quantitatif s’exprime par un nombre.

📌 Un caractère quantitatif discret prend des valeurs isolées, tandis qu’un caractère quantitatif continu peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

💡 Astuce mémo

Qualitatif décrit une catégorie ; quantitatif s’exprime par un nombre.

📖 2. Fréquences et moyennes statistiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence d’une valeur est $f_i=\frac{n_i}{N}$, où $n_i$ est son effectif et $N$ l’effectif total.

📐 Formule - Lorsque les valeurs ont des effectifs différents, la moyenne pondérée est $\overline{x}=\frac{x_1n_1+x_2n_2+\cdots+x_kn_k}{N}$.

Compléments

📐 Formule - La moyenne simple est $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{N}$.

📖 3. Médiane et quartiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Une valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Premier quartile : Une valeur telle qu’au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q1.
• Troisième quartile : Une valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q3.

★ À maîtriser

• 🔄 Le calcul de la médiane suit ces étapes. :
  1. Ranger les valeurs par ordre croissant.
  2. Si N est impair, prendre la valeur centrale.
  3. Si N est pair, calculer la moyenne des deux valeurs centrales.

Compléments

• Au moins 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales.

📌 Le rang du premier quartile est le rang arrondi à l’entier supérieur de $\frac{N}{4}$.

📌 Le rang du troisième quartile est le rang arrondi à l’entier supérieur de $\frac{3N}{4}$.

📖 4. Dispersion des séries statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : La différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série.
• Variance : Mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
• Écart-type : Mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne et vérifie $\sigma=\sqrt{V}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’étendue est $E=x_{\max}-x_{\min}$.

📐 Formule - La variance pondérée est $V=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+\cdots+n_k(x_k-\overline{x})^2}{N}$.

📐 Formule - La variance peut aussi se calculer par $V=\frac{n_1x_1^2+\cdots+n_kx_k^2}{N}-\overline{x}^{2}$.

📌 Un écart-type faible signifie que les valeurs sont proches de la moyenne, tandis qu’un écart-type élevé signifie qu’elles sont davantage dispersées.

📖 5. Notions fondamentales de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.
• Événement : Un ensemble d’une ou plusieurs issues.
• Univers : L’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Issue : Un résultat possible d’une expérience aléatoire.
• Événement élémentaire : Un événement composé d’une seule issue.

📝 Points essentiels

📌 Un événement certain se réalise toujours, tandis qu’un événement impossible ne peut jamais se réaliser.

📖 6. Opérations sur les événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : La réalisation simultanée de A et de B.
• Union : La réalisation de A ou de B.
• Événement contraire : La non-réalisation de A.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire de A est $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule - La probabilité de l’union de deux événements est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📖 7. Arbres et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi des grands nombres : Lorsqu’une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois dans les mêmes conditions, la fréquence d’un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

★ À maîtriser

• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

📌 La probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré est le produit des probabilités des branches qui le composent.

📌 La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir un 6 est $P(6)=\frac{1}{6}$.

📐 Formule - Si A et Ā forment une partition de l’univers, alors $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.

📐 Formule - Si A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l’univers, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)$.

💡 Astuce mémo

Sur un chemin, multiplier ; entre plusieurs chemins, additionner.

📖 8. Conditionnement et formule de Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Une probabilité calculée en sachant qu’un événement est déjà réalisé.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $P(A)\neq 0$, la probabilité de B sachant A est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

📐 Formule - Si $P(B)\neq 0$, la formule de Bayes donne $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P_A(B)}{P(B)}$.

Compléments

📐 Formule - La règle du produit s’écrit $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

💡 Astuce mémo

A sachant B inverse le conditionnement de B sachant A.

📖 9. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque les probabilités conditionnelles sont définies, A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$.

💡 Astuce mémo

Indépendance signifie que l’un ne change pas la probabilité de l’autre.

📖 10. Proportions et tableaux croisés

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion imbriquée : Une proportion de départ multipliée par une proportion conditionnelle : $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.
• Fréquence conditionnelle : Calculée à l’intérieur d’une catégorie donnée.
• Tableau d’effectifs : Un outil qui classe une population selon deux caractères.
• Fréquence marginale : Le quotient de l’effectif marginal par l’effectif total.

📝 Points essentiels

• Dans un groupe, si 60 % des personnes sont scolaires et 40 % des scolaires prennent le bus, alors 24 % du groupe sont scolaires et prennent le bus.

• Pour construire le tableau de l’entreprise de 360 employés, on calcule 216 hommes, 144 femmes, 27 hommes cadres et 126 femmes ouvrières ou techniciennes.

📐 Formule - La fréquence marginale est $f=\frac{\text{effectif marginal}}{\text{effectif total}}$.

📐 Formule - La fréquence conditionnelle de B parmi A est $f_A(B)=\frac{\text{effectif de }A\cap B}{\text{effectif de }A}$.

📖 11. Construire et exploiter un arbre

★ À maîtriser

• Pour construire un arbre pondéré, on identifie les événements, on dessine les branches, on inscrit les probabilités, on vérifie que les probabilités issues d’un même nœud totalisent 1 et on ajoute les événements contraires si nécessaire.

Compléments

• Si $P(A)=0{,}5$ et $P_A(B)=0{,}4$, alors $P(A\cap B)=0{,}2$.

• Dans un énoncé, « A et B » correspond à $P(A\cap B)$, « A ou B » à $P(A\cup B)$, « B sachant A » à $P_A(B)$, « A sachant B » à $P_B(A)$, « non A » à $P(\overline{A})$ et « A et non B » à $P(A\cap\overline{B})$.

💡 Astuce mémo

Identifier, brancher, pondérer, vérifier, compléter.