Fiche de révision : Statistiques inférentielles et plans expérimentaux

📋 Plan du Cours

1. De la question aux variables
2. Types de variables et facteurs
3. Plans expérimentaux factoriels
4. Plans emboîtés et mixtes
5. Facteurs confondants et causalité
6. Logique de l’inférence statistique
7. Erreurs, puissance et estimation
8. Tests des variables qualitatives

📖 1. De la question aux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable indépendante : Variable que le chercheur fait varier, ici la valence émotionnelle positive ou négative.
• Variable dépendante : Variable mesurée, ici la préférence exprimée par le choix positif ou négatif de l’enfant.

📝 Points essentiels

• Une analyse doit préciser: ce que l’on fait varier, ce que l’on mesure, qui participe, comment les participants sont exposés aux conditions, comment les données seront analysées

• L’opérationnalisation transforme une question théorique en hypothèse observable, en associant la valence émotionnelle à une personne souriante ou non souriante et la préférence au choix de la personne avec laquelle l’enfant souhaite interagir.

💡 Astuce mémo

Question → hypothèse → opérationnalisation → données

📖 2. Types de variables et facteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable qualitative : Variable prenant des valeurs correspondant à des catégories, comme le choix d’une personne négative codé 0 ou d’une personne positive codé 1.
• Variable ordinale : Une variable ordinale possède des valeurs ordonnées, mais ses intervalles ne sont ni nécessairement mesurables ni constants, comme les niveaux de satisfaction ou les niveaux d’études.
• Variable quantitative : Une variable quantitative représente une quantité mesurable, comme un score discret de 1 à 7 ou un temps continu passé avec une personne.
• Facteur : Lorsqu’une variable indépendante est qualitative, elle est généralement appelée facteur et possède plusieurs modalités, comme la valence positive et négative ou l’âge de 5–6 ans et 8–9 ans.

📝 Points essentiels

📌 Les variables indépendantes et dépendantes peuvent être qualitatives, ordinales, discrètes ou continues, et chaque niveau peut être réduit à un niveau précédent.

💡 Astuce mémo

Qualitative → ordinale → discrète → continue

📖 3. Plans expérimentaux factoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet principal : Dans un plan factoriel, un effet principal évalue l’effet global d’un facteur, par exemple si les personnes souriantes sont davantage choisies ou si les groupes d’âge diffèrent.
• Interaction : Signifie que l’effet d’un facteur varie selon le niveau de l’autre facteur.

★ À maîtriser

📌 Une variable inter-participants varie entre les participants, tandis qu’une variable intra-participants est manipulée chez les mêmes participants dans plusieurs conditions.

Compléments

• Dans la notation expérimentale, les sujets sont notés S, les facteurs sont notés A, B ou d’autres lettres, et l’indice indique le nombre de modalités du facteur.

💡 Astuce mémo

Inter-sujets entre participants, intra-sujets chez les mêmes participants

📖 4. Plans emboîtés et mixtes

★ À maîtriser

• Le plan intra-sujets S × A₂ expose chaque participant aux deux modalités du facteur A.

• Le plan complètement inter-sujets S < A₃*B₂ > affecte chaque participant à une seule combinaison de trois méthodes d’apprentissage et de deux types de matériel.

• Le plan mixte combine un facteur inter-sujets et un facteur intra-sujets, comme une méthode d’apprentissage entre groupes et un moment du test mesuré immédiatement puis une semaine plus tard.

Compléments

• Les modalités du facteur musique sont:
  • silence
  • musique classique
  • musique pop

📖 5. Facteurs confondants et causalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur confondant : Facteur qui varie avec la variable indépendante et fournit une explication alternative au résultat observé, de sorte que l’effet causal de la variable indépendante ne peut pas être interprété.

★ À maîtriser

• Les moyens de contrôle comprennent: la randomisation, l’appariement, la standardisation des conditions, l’introduction du facteur dans le plan expérimental

Compléments

• Si une formation innovante obtient de meilleures performances mais que son groupe a 35 ans d’âge moyen contre 22 ans pour la formation classique, l’effet observé peut venir de la formation, de l’âge ou des deux.

💡 Astuce mémo

Facteur confondant non contrôlé → explication causale indéterminée

📖 6. Logique de l’inférence statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution d’échantillonnage : Distribution des valeurs d’une statistique obtenues en répétant très grand nombre de fois l’échantillonnage dans les mêmes conditions.
• Valeur p : Probabilité, si H₀ est vraie, d’observer un résultat au moins aussi extrême que celui obtenu.

📝 Points essentiels

📌 Un paramètre est une caractéristique numérique de la population, comme π pour une proportion ou μ pour une moyenne, tandis qu’une statistique est calculée sur un échantillon, comme p̂ ou M.

📐 Formule — La proportion observée s’écrit $\hat{p}=\frac{x}{n}$ ; dans l’exemple, $\hat{p}=\frac{78}{120}=0{,}65$.

• L’hypothèse nulle affirme l’absence d’effet dans la population, par exemple $H_0:\pi=0{,}50$, tandis que l’hypothèse alternative bilatérale affirme une différence, $H_1:\pi\neq0{,}50$.

• Avec un seuil de significativité fixé à α = 0,05, une valeur p inférieure ou égale à 0,05 conduit à rejeter H₀, tandis qu’une valeur p supérieure à 0,05 conduit à ne pas rejeter H₀.

• Un test bilatéral recherche un effet dans les deux directions, tandis qu’un test unilatéral ne recherche l’effet que dans une direction préspécifiée.

• 🔄 La démarche d’un test est:

  1. formuler H₀ et H₁
  2. calculer une statistique
  3. déterminer sa distribution sous H₀
  4. évaluer le caractère extrême du résultat
  5. comparer p au seuil α

💡 Astuce mémo

H₀ → distribution sous H₀ → p → décision

📖 7. Erreurs, puissance et estimation

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance statistique est définie par $\text{Puissance}=1-\beta$ et correspond à $P(\text{rejeter }H_0\mid H_1\text{ vraie})$.

📌 L’erreur de type I consiste à rejeter H₀ alors qu’elle est vraie, tandis que l’erreur de type II consiste à ne pas rejeter H₀ alors qu’elle est fausse.

📌 Une puissance élevée signifie que l’étude détecte plus probablement un effet de la taille considérée s’il existe réellement, et une puissance d’au moins 80 % est généralement recherchée, soit β ≤ 0,20.

📐 Formule — Sous un modèle binomial, l’erreur standard d’une proportion est $SE_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$ et son estimation pratique est $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.

📐 Formule — L’intervalle de confiance approximatif à 95 % d’une proportion est $IC_{95\%}\approx\hat{p}\pm1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.

Compléments

📐 Formule — Le risque d’erreur de type I est $\alpha=P(\text{rejeter }H_0\mid H_0\text{ vraie})$ et la probabilité d’erreur de type II est $\beta=P(\text{ne pas rejeter }H_0\mid H_1\text{ vraie})$.

• La puissance dépend de:
  • la taille de l’effet
  • la variabilité
  • le nombre d’observations n
  • la compatibilité des données avec H₀

💡 Astuce mémo

Erreur de type I : rejeter H₀ vraie ; erreur de type II : ne pas rejeter H₀ fausse

📖 8. Tests des variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une variable binaire répétée n fois suit un modèle binomial $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, où X est le nombre de succès et p la probabilité de succès à chaque essai.

★ À maîtriser

📌 Le test binomial teste exactement une proportion pour deux catégories, tandis que le χ² d’ajustement compare des effectifs observés à des effectifs attendus pour deux catégories ou davantage.

📐 Formule — La statistique du χ² d’ajustement est $\chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$, où Oᵢ est l’effectif observé et Eᵢ l’effectif attendu sous H₀.

📌 Le χ² d’ajustement compare une répartition observée à une répartition théorique, tandis que le χ² d’indépendance teste l’association entre deux variables qualitatives.

📐 Formule — Dans un tableau de contingence, l’effectif attendu d’une cellule sous l’indépendance est $E_{ij}=\frac{\text{total ligne}\times\text{total colonne}}{\text{total général}}$.

• Le choix du test dépend des hypothèses opérationnelles et du plan : le χ² teste l’indépendance de deux variables qualitatives, t compare deux moyennes, F compare plusieurs moyennes et r teste l’association linéaire entre deux variables quantitatives.

Compléments

📐 Formule — Pour un χ² d’indépendance à r lignes et c colonnes, les degrés de liberté sont $df=(r-1)(c-1)$.

💡 Astuce mémo

Ajustement : observé contre théorique ; indépendance : association entre variables

📊 Tableaux de synthèse

Types de plans expérimentaux

Choix du test statistique