Fiche de révision : Suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et récurrence
2. Expression explicite
3. Variations et graphique
4. Sommes de termes
5. Moyenne arithmétique

📖 1. Définition et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un nombre r tel que $u_{n+1}=u_n+r$, où r est appelé la raison de la suite.

★ À maîtriser

• Pour définir une suite arithmétique par récurrence, il faut donner un terme initial et exprimer chaque terme suivant comme le terme précédent augmenté de la raison.

Compléments

• La suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+5$ est arithmétique de premier terme 3 et de raison 5, avec $u_1=8$, $u_2=13$ et $u_3=18$.

💡 Astuce mémo

Ajouter toujours la même raison → obtenir une suite arithmétique

📖 2. Expression explicite

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison r, le terme général vérifie $u_n=u_0+nr$.

📌 Si le premier terme donné est $u_1$, on peut utiliser directement $u_n=u_1+(n-1)r$.

Compléments

• La suite définie par $u_0=7$ et $u_{n+1}=u_n-4$ a pour expression explicite $u_n=7-4n$.

• Pour la suite définie par $u_1=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$, on obtient $u_0=2$ puis $u_n=2+3n$.

💡 Astuce mémo

Premier terme → raison → terme général

📖 3. Variations et graphique

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison r est croissante si $r>0$ et décroissante si $r<0$.

• Les points de la représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés.

Compléments

• La suite définie par $u_n=3+5n$ est croissante car sa raison est positive et égale à 5.

💡 Astuce mémo

Raison positive : croissance ; raison négative : décroissance

📖 4. Sommes de termes

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à $\text{nombre de termes}\times\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$.

• Pour la suite $u_n=3000+150n$, la somme $u_0+u_1+\dots+u_{15}$ vaut 66 000 m, soit 66 km.

Compléments

📐 Formule — La somme des termes de rang 0 à 15 s’écrit $\sum_{k=0}^{15}u_k$ et comporte 16 termes.

• Pour la suite $u_n=3000+150n$, la somme des termes du jour 8 au jour 12 vaut 22 500 m, soit 22,5 km.

💡 Astuce mémo

Associer le premier et le dernier terme autour de leur moyenne

📖 5. Moyenne arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique d’une liste de nombres est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est $\frac{a+b}{2}$ ; par exemple, celle de −3 et 19 vaut 8.

📐 Formule — Dans une suite arithmétique, chaque terme $u_n$ est la moyenne arithmétique de ses termes voisin précédent et suivant, car $\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}=u_n$.

Compléments

• Comme $u_{n-1}=u_n-r$ et $u_{n+1}=u_n+r$, on obtient $\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}=\frac{u_n-r+u_n+r}{2}=u_n$.