Fiche de révision : Suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et caractérisation
2. Calcul des termes
3. Terme général
4. Variations et évolution linéaire
5. Moyenne arithmétique
6. Sommes de termes
7. Algorithmes de sommation

📖 1. Définition et caractérisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant un même nombre, appelé raison et souvent noté r, au terme précédent.

★ À maîtriser

• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on vérifie que cette différence ne dépend pas de n.

Compléments

• La suite définie par $u_n=4n-2$ est arithmétique de raison 4, car $u_{n+1}-u_n=4$.

• La suite définie par $u_n=n^2-1$ n’est pas arithmétique, car $u_1-u_0=1$ tandis que $u_2-u_1=3$.

💡 Astuce mémo

Différence constante = arithmétique ; différence variable = non arithmétique

📖 2. Calcul des termes

★ À maîtriser

• Dans une suite arithmétique, chaque terme se calcule à partir du précédent en lui ajoutant la raison.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_0=8$ et $u_{n+1}=u_n+12$, on obtient $u_2=32$.

• Une suite arithmétique peut être calculée avec un tableur, le mode suite d’une calculatrice ou un programme Python.

💡 Astuce mémo

Terme initial → ajout répété de la raison → terme recherché

📖 3. Terme général

★ À maîtriser

📐 Formule — Si le premier terme est $u_0$, le terme général d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Plus généralement, pour deux rangs p et n avec $n\ge p$, une suite arithmétique vérifie $u_n=u_p+(n-p)r$.

Compléments

• La suite des multiples de 3 est arithmétique de premier terme $u_0=0$ et de raison 3, avec $u_n=3n$.

💡 Astuce mémo

Point de départ + nombre de pas × raison

📖 4. Variations et évolution linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : Différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique, constante et égale à la raison r.

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison positive est croissante, de raison négative est décroissante et de raison nulle est constante.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison r, on a $u_n=u_0+nr=f(n)$, où $f(x)=rx+u_0$ est une fonction affine.

Compléments

• Les points $M(n;u_n)$ représentant une suite arithmétique sont alignés sur la droite d’équation $y=rx+u_0$.

💡 Astuce mémo

Signe de la raison → sens de variation

📖 5. Moyenne arithmétique

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, une suite arithmétique vérifie $u_{n-1}+u_{n+1}=2u_n$, donc $u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.

📐 Formule — Pour des rangs symétriques, une suite arithmétique vérifie $u_{n-p}+u_{n+p}=2u_n$, donc $u_n=\frac{u_{n-p}+u_{n+p}}{2}$.

Compléments

📌 Trois réels a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si $b=\frac{a+c}{2}$, ce qui équivaut à $b-a=c-b$.

• Dans la suite définie par $u_n=3n-1$, le terme 5 est la moyenne de ses voisins 2 et 8, car $\frac{2+8}{2}=5$.

💡 Astuce mémo

Le terme central placé au milieu de deux termes symétriques

📖 6. Sommes de termes

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des n premiers entiers naturels non nuls est $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à $\frac{(\text{premier terme}+\text{dernier terme})\times\text{nombre de termes}}{2}$.

Compléments

• Le symbole $\sum_{k=1}^{n}k$ désigne la somme des k lorsque k varie de 1 à n.

• Pour une suite de premier terme $u_0=5$ et de raison 3, la somme $u_5+u_6+\cdots+u_{11}$ vaut 203, car $u_5=20$, $u_{11}=38$ et il y a 7 termes.

💡 Astuce mémo

Premier terme + dernier terme, le tout multiplié par le nombre de termes, puis divisé par 2

📖 7. Algorithmes de sommation

★ À maîtriser

• Un algorithme Python de sommation initialise une somme, fait varier un indice avec une boucle for et ajoute chaque terme à la somme.

Compléments

• Pour sommer des carrés ou des cubes, on remplace respectivement le terme ajouté par $i^2$ ou $i^3$ dans l’algorithme.

• Pour calculer la somme des inverses, on remplace le terme ajouté par $\frac{1}{i}$ dans l’algorithme.

📊 Tableaux de synthèse

Formules du terme général

Sens de variation selon la raison