Fiche de révision : Suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Sommes arithmétiques
3. Suites géométriques
4. Sommes géométriques
5. Reconnaître une suite

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Définie par $u_{n+1}=u_n+r$, où $u_1$ est le premier terme et $r$ la raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme de rang n d’une suite arithmétique est donné par $u_n=u_1+n\times r$.

Compléments

• Les nombres impairs forment une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2, et le 25e nombre impair vaut 51.

💡 Astuce mémo

Ajouter toujours la raison r produit une suite arithmétique.

📖 2. Sommes arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des k premiers termes d’une suite arithmétique est $S_k=\frac{k(u_1+u_k)}{2}$.

Compléments

• Pour un forage dont les prix forment une suite arithmétique de premier terme 100 € et de raison 10 €, le prix du 15e mètre est 250 € et le forage de 15 mètres coûte 2 625 €.

💡 Astuce mémo

Associer le premier et le dernier terme autour d’une moyenne.

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Définie par $u_{n+1}=u_n\times q$, où $u_1$ est le premier terme et $q$ la raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme de rang n d’une suite géométrique est donné par $u_n=u_1\times q^n$.

Compléments

• Une production initiale de 5 000 unités augmentant chaque mois de 10 % forme une suite géométrique de raison 1,1, et la production du 12e mois vaut 15 692,14 unités.

💡 Astuce mémo

Multiplier toujours par q produit une suite géométrique.

📖 4. Sommes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des k premiers termes d’une suite géométrique est $S_k=u_1\times\frac{1-q^k}{1-q}$.

Compléments

• Pour un chiffre d’affaires formant une suite géométrique de premier terme 5 000 et de raison 1,1, le chiffre d’affaires cumulé des 7 premières années est de 47 435,86 €.

📖 5. Reconnaître une suite

★ À maîtriser

📌 Une suite est arithmétique si et seulement si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante et égale à la raison r.

📌 Une suite est géométrique si et seulement si le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant et égal à la raison q, nombre réel.

• Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}$, puis $u_{n+1}-u_n$, et on vérifie que cette différence est constante.

• Pour prouver qu’une suite est géométrique, on calcule le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et on vérifie qu’il est constant.

Compléments

• Pour $u_n=3+5n$, on obtient $u_{n+1}-u_n=5$, donc la suite est arithmétique de raison 5.

• Pour $u_n=7\times3^n$, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ vaut 3, donc la suite est géométrique de raison 3.

💡 Astuce mémo

Suite arithmétique : différence constante ; suite géométrique : quotient constant.

📊 Tableaux de synthèse

Reconnaître le type de suite