Fiche de révision : Suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite et indices
2. Suite arithmétique
3. Suite géométrique
4. Choisir le type de suite
5. Variations des suites
6. Calculs directs et sommes

📖 1. Notion de suite et indices

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste de nombres écrits dans un ordre précis, chaque nombre étant appelé un terme.

📝 Points essentiels

• Dans une suite, l'indice est le petit nombre placé en bas qui indique la position d'un terme, par exemple $u_1=2$ signifie que le premier terme vaut 2.

💡 Astuce mémo

Une file de nombres où chaque terme occupe une place numérotée

📖 2. Suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dans laquelle on ajoute toujours le même nombre, appelé raison et noté r, pour passer d'un terme au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une suite arithmétique, le terme suivant vérifie $u_{n+1}=u_n+r$.

Compléments

• La suite 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 est arithmétique de raison $r=5$.

💡 Astuce mémo

Ajouter la même raison : +r, +r, +r

📖 3. Suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dans laquelle on multiplie toujours par le même nombre, appelé raison et noté q, pour passer d'un terme au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une suite géométrique, le terme suivant vérifie $u_{n+1}=u_n\times q$.

Compléments

• La suite 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 est géométrique de raison $q=3$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par la même raison : ×q, ×q, ×q

📖 4. Choisir le type de suite

★ À maîtriser

📌 Une augmentation fixe de 20 correspond à une suite arithmétique, tandis qu'une augmentation de 20 % correspond à une suite géométrique.

📌 Une augmentation de 20 % se transforme en coefficient multiplicateur égal à $1+\frac{20}{100}=1{,}20$.

Compléments

• Un salaire de 1450 € augmenté de 60 € chaque année forme une suite arithmétique avec $u_1=1450$ et $r=60$, donnant notamment $u_2=1510$, $u_3=1570$ et $u_4=1630$.

• Un salaire de 1450 € augmenté de 0,34 % chaque année forme une suite géométrique de raison $q=1{,}0034$ et donne environ 1454,93 € puis 1459,88 €.

💡 Astuce mémo

Augmenter de 20 = ajouter ; augmenter de 20 % = multiplier

📖 5. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite dont les termes montent lorsque l'indice augmente.

📝 Points essentiels

📌 Pour une suite arithmétique, $r>0$ entraîne une suite croissante et $r<0$ entraîne une suite décroissante.

📌 Pour une suite géométrique positive, $q>1$ entraîne une suite croissante et $0<q<1$ entraîne une suite décroissante.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : le signe de r ; géométrique positive : la position de q par rapport à 1

📖 6. Calculs directs et sommes

★ À maîtriser

📐 Formule — Le terme général d'une suite arithmétique est $u_n=u_1+(n-1)\times r$.

📐 Formule — Le terme général d'une suite géométrique est $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

Compléments

• Pour une suite arithmétique avec $u_1=10$ et $r=5$, la formule donne $u_6=10+(6-1)\times5=35$.

• Pour une suite géométrique avec $u_1=2$ et $q=3$, la formule donne $u_5=2\times3^{5-1}=162$.

📐 Formule — La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique vérifie $S_n=\frac n2\times(u_1+u_n)$, tandis que celle d'une suite géométrique vérifie $S_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Identifier u₁, trouver r ou q, puis appliquer la formule

📊 Tableaux de synthèse

Comparer les deux types de suites