Fiche de révision : Arithmétique et calcul algébrique

📋 Plan du Cours

1. Puissances et notation scientifique
2. Parité des nombres et carrés
3. Fractions et opérations algébriques
4. Factorisation des expressions du second degré
5. Racines carrées et rationalisation

📖 1. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a, soit $a^n=a\times a\times\cdots\times a$.

★ À maîtriser

📌 Si l’exposant n est pair, $a^n$ est positif ; si n est impair, $a^n$ a le signe de a.

📌 Pour tout nombre réel a, son carré vérifie $a^2\geq0$.

Compléments

• La notation scientifique d’un nombre s’écrit $a\times10^n$, où a et n sont non nuls et n est entier.

• Les exemples de puissances sont $3^2=3\times3=9$ et $4^3=4\times4\times4=64$.

💡 Astuce mémo

Exposant pair → résultat positif ; exposant impair → signe de la base.

📖 2. Parité des nombres et carrés

★ À maîtriser

📌 La somme de deux nombres pairs est paire, et la somme de deux nombres impairs est également paire.

📌 La somme de deux nombres de parités différentes est impaire.

Compléments

📌 Si n est pair, alors son carré est pair.

📌 Si n est impair, alors son carré est impair.

💡 Astuce mémo

Même parité → somme paire ; parités différentes → somme impaire.

📖 3. Fractions et opérations algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : Pour tout réel non nul a, $\frac{1}{a}$.
• Monôme : Expression comme le produit de n facteurs égaux à a : $a^n=a\times a\times\cdots\times a$.

★ À maîtriser

📌 Pour tous réels a et b non nuls, la multiplication est commutative : $a\times b=b\times a$.

📌 Si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, alors $ad=bc$.

Compléments

📐 Formule — Pour des réels a, b et c avec b et c non nuls, $\frac{a}{bc}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}$.

💡 Astuce mémo

Produit croisé, décomposition du quotient, puis inverse.

📖 4. Factorisation des expressions du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — La factorisation de la différence de deux carrés est $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$, comme $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

📐 Formule — Les trinômes carrés parfaits vérifient $x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ et $x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$.

Compléments

• Les exemples de carrés parfaits sont $x^2+2x+1=(x+1)^2$ et $x^2-2x+1=(x-1)^2$.

• Le trinôme $x^2+5x+6$ se factorise en $(x+2)(x+3)$, tandis que $x^2-5x+6$ se factorise en $(x-2)(x-3)$.

💡 Astuce mémo

Différence de carrés → deux conjugués ; carré parfait → binôme au carré.

📖 5. Racines carrées et rationalisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout a positif ou nul, le carré de sa racine vaut $\left(\sqrt a\right)^2=a$.

📐 Formule — La rationalisation donne, pour b non nul, $\frac{a}{\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{b}$.

📌 Pour a et b positifs ou nuls, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et, si b est non nul, $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$.

Compléments

• Les racines carrées usuelles sont $\sqrt1=1$, $\sqrt4=2$, $\sqrt9=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{81}=9$ et $\sqrt{100}=10$.

• Les calculs usuels donnent $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$, $\sqrt{5^2+12^2}=13$ et $\sqrt{8^2+15^2}=17$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, calculer, puis rationaliser le dénominateur.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de parité