Qu'est-ce que la convergence simple d'une suite de fonctions ?
La convergence simple signifie que pour tout x dans D, fn(x) converge vers f(x).
Quel est le domaine de convergence simple pour fn(x)=x^n ?
Le domaine est ]−1,1].
Quelle est la limite de fn(x)=x^n sur ]−1,1[ ?
La limite est nulle sur ]−1,1[.
Quelle est la limite de fn(x)=x^n en x=1 ?
La limite est égale à 1 en x=1.
Qu'impose la convergence uniforme d'une suite (fn) vers f sur A ?
La norme uniforme ||fn−f||∞ tend vers 0.
Comment s'exprime la norme de la convergence uniforme pour une fonction g ?
.
Quelle conséquence a la convergence uniforme sur la convergence simple ?
La convergence uniforme implique la convergence simple vers la même fonction.
Comment montrer qu'une suite ne converge pas uniformément vers f ?
Choisir une suite xn telle que ||fn(xn)−f(xn)||F ne tende pas vers 0.
Pourquoi la suite fn(x)=x^n sur ]−1,1] ne converge-t-elle pas uniformément ?
Parce que sup|fn−f|=1 pour tout n.
Quelle condition assure la continuité de la limite f sur A ?
La convergence uniforme des fn continues vers f sur A.
Que garantit la convergence uniforme sur tout segment d'un intervalle I ?
La continuité de la limite simple f sur I.
Que garantit la convergence uniforme de fn vers f sur A avec limites λn en a ?
λn converge vers une limite λ et f(x) tend vers λ quand x tend vers a.
Que permet d'écrire la convergence uniforme aux bornes ±∞ avec limites λn ?
limₙ→∞ λn = limₓ→a f(x).
Que garantit la convergence uniforme de fn vers f sur un segment J ?
Fn converge uniformément vers F définie par intégrale de f sur J.
Quelle inégalité relie et sur J=[c,d] ?
.
Que vaut la limite de si fn continue et converge uniformément vers f ?
Elle vaut .
Quelle condition sur fn garantit la convergence uniforme de fn vers f sur tout segment ?
fn doit être de classe C1 sur I et converger simplement vers f sur I.
Que peut-on dire de la dérivée f' si f'n converge uniformément vers h ?
f est de classe C1 et f' = h.
Quelle formule exprime l'interversion de la limite et de la dérivation sous ces hypothèses ?
Quelle condition sur les dérivées d'ordre l<k assure la classe Ck de la limite ?
Les dérivées d'ordre l<k convergent simplement.
Quelle condition sur les dérivées d'ordre k garantit la classe Ck de la limite ?
Les dérivées d'ordre k convergent uniformément sur tout segment.
Quelle est la classe de la limite d'une suite fn sous ces conditions de convergence ?
La limite est de classe Ck.
Que vaut la dérivée d'ordre l de la limite pour 1 ≤ l ≤ k ?
Elle est la limite simple des dérivées d'ordre l.
Quelles hypothèses permettent d'échanger dérivée d'ordre l et limite simple ?
Les hypothèses du théorème sur la convergence simple et uniforme des dérivées.
Quelles conditions impose le théorème de convergence dominée sur la suite fn ?
fn doit converger simplement vers f et être dominée par une fonction intégrable φ.
Que garantit le théorème de convergence dominée sur l'intégrabilité de f et fn ?
f et chaque fn sont intégrables sous ses hypothèses.
Quelle égalité limite implique le théorème de convergence dominée pour les intégrales de fn ?
La limite des intégrales de fn est l'intégrale de f.
Quelles étapes suit-on pour appliquer la convergence dominée après un changement de variable ?
Transformer l’intervalle, calculer la limite simple, construire une dominante intégrable, intervertir limite et intégrale.
Quelle fonction domine fn(t)=1/(1+t²)^n sur [0,+∞[ pour la convergence dominée ?
La fonction φ(t)=1/(1+t²).
Quelle est la limite de ∫0∞ dt/(1+t²)^n quand n tend vers l'infini ?
La limite est 0.
Quel est le domaine de convergence simple d'une suite de fonctions ?
C'est l'ensemble des points où la suite numérique fn(x) converge.
Pour fn(x)=(1−x/n)^n si x≤n, vers quoi converge la suite simplement sur ℝ ?
Elle converge vers f(x)=e^(−x).
Quelle fonction limite obtient-on pour fn(x)=1/(n+x²) sur ℝ ?
La fonction nulle.
Quelle majoration de ||fn||∞ montre la convergence uniforme de fn(x)=1/(n+x²) ?
On a ||fn||∞ ≤ 1/n.
Quelle est la valeur du maximum de fn(x)=x²e^(−nx) sur ℝ+ ?
Le maximum vaut 4/(n²e²).
Quelle est la nature de la convergence de fn(x)=x²e^(−nx) vers 0 sur ℝ+ ?
La convergence vers 0 est uniforme.
Pourquoi la convergence simple de fn(x)=e^(−nx)sin(nx) vers 0 sur ℝ+ n'est-elle pas uniforme ?
Parce qu'en prenant xn=1/(2n), ||fn(xn)|| ne tend pas vers 0 uniformément.
Que montre l'exemple de la suite fn(x)=x^n sur ]−1,1] ?
La limite simple peut être discontinue même si chaque fn est continue.
Quelle propriété conserve la limite uniforme de fonctions bornées ?
Elle est bornée.
Que se passe-t-il si fn(x)=n(f(x+x/n)−f(x)) converge uniformément sur [1,+∞[ et f(x) tend vers λ à l'infini ?
f′(x) tend vers λ à l'infini.
Quelle conséquence a la convergence vers une limite discontinue pour fn(x)=(1+nx)/(1+2n²x)e^(−nx) sur [0,+∞[ ?
Elle exclut la convergence uniforme sur [0,+∞[.
Que montre l'exemple de la suite sur [0,1] ?
La convergence simple vers 0 ne garantit pas la convergence des intégrales.
Pour sur [0,1], vers quoi fn converge-t-elle uniformément ?
Vers 0.
Pour , que dire de la convergence de pour x>0 ?
f'n ne converge pas simplement pour x > 0.
Que montrent les fonctions et leurs dérivées concernant leur convergence ?
Elles convergent simplement.
Quelle est la nature de la limite de ?
La limite est |x|, qui n’est pas dérivable en 0.
Comment prouve-t-on que l'exponentielle définie par sa série est de classe C1 ?
En appliquant le théorème aux sommes partielles et à leurs dérivées.
Quelle égalité vérifie la dérivée de l'exponentielle définie par sa série ?
La dérivée de l'exponentielle est égale à l'exponentielle elle-même.
Pourquoi la suite fn définie par morceaux sur [0,2/n] ne satisfait pas le théorème de convergence dominée ?
Parce qu'elle n'a pas de fonction intégrable qui la domine uniformément.
Quelle est la limite simple de la suite fn(x) définie sur [0,2/n] et [1/n,2/n] ?
Elle converge simplement vers 0.
Quelle fonction domine la suite fn(t)=t^n sur [0,1] ?
La fonction constante 1 domine cette suite.
Quelle limite d'intégrale obtient-on pour fn(t)=t^n sur [0,1] grâce au théorème ?
La limite est 0.
Quelles fonctions dominent sur ]0,+∞[ ?
φ(t)=1/√t sur ]0,1] et sur [1,+∞[.
Quel changement de variable est utilisé pour In=∫0^1 dx/(1+x^n) ?
Le changement u=x^n.
Que vaut la limite de n(I−In) avec I=∫0^1 dx/(1+x) et In=∫0^1 dx/(1+x^n) ?
Elle tend vers ln(2).
Que garantit la convergence uniforme sur un segment par rapport à la convergence dominée ?
Elle implique les hypothèses de la convergence dominée.
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1. Que signifie la convergence simple de la suite de fonctions vers sur un domaine ?
2. Pour , quelle est la limite simple sur l’intervalle ?
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