Fiche de révision : Suites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Convergence simple
2. Convergence uniforme
3. Critères de non-convergence uniforme
4. Continuité de la limite
5. Double limite
6. Intégration et limite uniforme
7. Dérivation terme à terme
8. Dérivées d’ordre supérieur
9. Théorème de convergence dominée
10. Applications de la convergence dominée

📖 1. Convergence simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence simple : si, pour tout x appartenant à D, la suite (fn(x)) converge vers f(x).

★ À maîtriser

• Pour fn(x)=x^n, le domaine de convergence simple est ]−1,1], avec une limite nulle sur ]−1,1[ et une limite égale à 1 en x=1.

Compléments

• Le domaine de convergence simple est l’ensemble des points où la suite numérique (fn(x)) converge.

• Pour fn(x)=(1−x/n)^n lorsque x≤n et fn(x)=0 sinon, la suite converge simplement sur ℝ vers la fonction f(x)=e^(−x).

💡 Astuce mémo

Fixer x, calculer fn(x), puis identifier f(x)

📖 2. Convergence uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence uniforme : si la norme uniforme vérifie ||fn−f||∞→0.

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme de la convergence uniforme est $||g||_\infty=\sup_{x\in A}||g(x)||_F$.

📌 La convergence uniforme sur A implique la convergence simple sur A vers la même fonction.

Compléments

• Pour fn(x)=1/(n+x²) sur ℝ, on a ||fn||∞≤1/n, donc fn converge uniformément vers la fonction nulle.

💡 Astuce mémo

Simple : n0 dépend de x ; uniforme : n0 dépend seulement de ε

📖 3. Critères de non-convergence uniforme

★ À maîtriser

• Pour montrer qu’une suite convergeant simplement vers f ne converge pas uniformément, il suffit de choisir une suite xn telle que ||fn(xn)−f(xn)||F ne tende pas vers 0.

• Pour fn(x)=x^n sur ]−1,1], la convergence simple vers f n’est pas uniforme car sup|fn−f|=1 pour tout n.

Compléments

• Pour fn(x)=x²e^(−nx) sur ℝ+, le maximum vaut 4/(n²e²), donc la convergence vers 0 est uniforme.

• Pour fn(x)=e^(−nx)sin(nx) sur ℝ+, la convergence simple vers 0 n’est pas uniforme en prenant xn=1/(2n).

💡 Astuce mémo

Pic mobile non contrôlé → échec de la convergence uniforme

📖 4. Continuité de la limite

★ À maîtriser

📌 Si chaque fn est continue sur A et si fn converge uniformément vers f sur A, alors f est continue sur A.

📌 Si fn est continue sur un intervalle I et converge uniformément sur tout segment de I, alors sa limite simple f est continue sur I.

Compléments

• La suite fn(x)=x^n sur ]−1,1] converge simplement vers une fonction discontinue en 1, malgré la continuité de chaque fn.

📌 Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.

💡 Astuce mémo

Convergence uniforme + continuité des fn → continuité de f

📖 5. Double limite

★ À maîtriser

📌 Si fn converge uniformément vers f sur A et si chaque fn admet une limite λn en un point adhérent a, alors λn converge vers une limite λ et f(x) tend vers λ lorsque x tend vers a.

📌 Aux bornes ±∞ d’un intervalle, la convergence uniforme et l’existence des limites limx→a fn(x)=λn permettent d’écrire limn→∞λn=limx→a f(x).

Compléments

• Si fn(x)=n(f(x+x/n)−f(x)) converge uniformément sur [1,+∞[ et si f(x) tend vers λ à l’infini, alors f′(x) tend vers λ à l’infini.

• Pour fn(x)=(1+nx)/(1+2n²x)e^(−nx) sur [0,+∞[, la convergence vers une limite discontinue exclut la convergence uniforme sur [0,+∞[.

💡 Astuce mémo

Limite en x puis limite en n, ou limite en n puis limite en x

📖 6. Intégration et limite uniforme

★ À maîtriser

📌 Si fn converge uniformément vers f sur tout segment J d’un intervalle I et si Fn(x)=∫a^x fn(t)dt, alors Fn converge uniformément vers F(x)=∫a^x f(t)dt sur tout segment J.

📐 Formule — Sur J=[c,d], on a $||F_n-F||_\infty\le (d-c)||f_n-f||_\infty$.

📌 Si fn est continue sur [a,b] et converge uniformément vers f, alors limn→∞∫a^b fn(t)dt=∫a^b f(t)dt.

Compléments

• La suite fn(x)=n²x^n(1−x) converge simplement vers 0 sur [0,1], mais ses intégrales tendent vers 1, donc l’interversion échoue sans convergence uniforme.

💡 Astuce mémo

Convergence uniforme sur un segment → interversion limite-intégrale

📖 7. Dérivation terme à terme

★ À maîtriser

📌 Si fn est de classe C1 sur I, converge simplement vers f sur I et si f′n converge uniformément sur tout segment vers h, alors fn converge uniformément vers f sur tout segment, f est de classe C1 et f′=h.

📐 Formule — Sous ces hypothèses, on peut intervertir limite et dérivation : $\lim_{n\to\infty}f_n'=\left(\lim_{n\to\infty}f_n\right)'=f'.$

Compléments

• Pour fn(x)=sin(nx)/n sur [0,1], fn converge uniformément vers 0 mais f′n(x)=cos(nx) ne converge pas simplement pour x>0.

• Les fonctions fn(x)=√(x²+1/n) et leurs dérivées convergent simplement, mais la limite |x| n’est pas dérivable en 0.

💡 Astuce mémo

Dérivées uniformément convergentes → limite dérivable

📖 8. Dérivées d’ordre supérieur

★ À maîtriser

📌 Pour une suite fn de classe Ck, si les dérivées d’ordre l<k convergent simplement et si les dérivées d’ordre k convergent uniformément sur tout segment, alors la limite d’ordre zéro est de classe Ck.

📌 Sous ces hypothèses, pour tout l compris entre 1 et k, la dérivée d’ordre l de la limite est la limite simple des dérivées d’ordre l.

Compléments

• Pour démontrer que l’exponentielle définie par sa série est de classe C1 et vérifie exp′=exp, on applique le théorème aux sommes partielles et à leurs dérivées.

💡 Astuce mémo

Convergence simple aux ordres 0 à k−1, uniforme à l’ordre k

📖 9. Théorème de convergence dominée

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence dominée : lorsque fn converge simplement vers f et qu’il existe une fonction intégrable φ telle que |fn(x)|≤φ(x) pour tout n et tout x.

★ À maîtriser

📌 Sous les hypothèses du théorème de convergence dominée, f et chaque fn sont intégrables et limn→∞∫I fn(t)dt=∫I f(t)dt.

Compléments

• La suite fn(x)=n²x(1−nx) sur [0,2/n] et n(2−nx) sur [1/n,2/n], nulle ailleurs, converge simplement vers 0 mais ses intégrales valent 1, car aucune domination intégrable commune n’est disponible.

• Sur [0,1], la suite fn(t)=t^n est dominée par 1, ce qui permet d’obtenir limn→∞∫0^1t^n dt=0.

💡 Astuce mémo

Convergence simple seule échoue ; convergence simple dominée réussit

📖 10. Applications de la convergence dominée

★ À maîtriser

• 🔄 La démarche comprend: obtenir un intervalle commun, calculer la limite simple, construire une dominante intégrable indépendante de n, intervertir limite et intégrale

• Pour fn(t)=1/(1+t²)^n sur [0,+∞[, la dominante φ(t)=1/(1+t²) est intégrable et donne limn→∞∫0∞dt/(1+t²)^n=0.

Compléments

• Pour fn(t)=sin(nt)/(nt^(3/2)) sur ]0,+∞[, une dominante intégrable est φ(t)=1/√t sur ]0,1] et φ(t)=1/t^(3/2) sur [1,+∞[.

• Pour In=∫0^1 dx/(1+x^n), le changement de variable u=x^n conduit à I−In=(1/n)∫0^1u^(1/n)/(1+u)du, puis n(I−In) tend vers ln(2).

• La convergence uniforme sur un segment implique les hypothèses de la convergence dominée et constitue donc un cas particulier de celle-ci.

💡 Astuce mémo

Intervalle commun, limite simple, dominante intégrable, interversion

📊 Tableaux de synthèse

Convergences de fonctions