QCM : Suites de fonctions — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la convergence simple de la suite de fonctions (fn)\left(f_n\right) vers ff sur un domaine DD ?

La suite de fonctions (fn)\left(f_n\right) converge vers une constante indépendante de xx
La norme uniforme de fn−ff_n-f tend vers zéro sur DD
Pour tout x∈Dx\in D, la suite numérique (fn(x))\left(f_n(x)\right) converge vers f(x)f(x)
La suite (fn(x))\left(f_n(x)\right) possède une même vitesse de convergence pour tout x∈Dx\in D

Pour tout $$x\in D$$, la suite numérique $$\left(f_n(x)\right)$$ converge vers $$f(x)$$

Explication

La convergence simple se vérifie point par point : pour chaque x∈Dx\in D, les valeurs fn(x)f_n(x) tendent vers f(x)f(x). Elle ne demande pas que le rang à partir duquel l’approximation est valable soit le même pour tous les points, contrairement à la convergence uniforme.

2. Pour fn(x)=xnf_n(x)=x^n, quelle est la limite simple sur l’intervalle ]−1,1]]-1,1] ?

La limite vaut xx sur ]−1,1]]-1,1], avec une valeur différente en x=1x=1
La limite vaut 00 sur ]−1,1[]-1,1[ et 11 en x=1x=1
La limite vaut 00 sur tout ]−1,1]]-1,1], y compris en x=1x=1
La limite vaut 11 sur ]−1,1[]-1,1[ et 00 en x=1x=1

La limite vaut $$0$$ sur $$]-1,1[$$ et $$1$$ en $$x=1$$

Explication

Si ∣x∣<1|x|<1, alors xn→0x^n\to0, tandis que 1n=11^n=1 pour tout nn. La limite simple est donc nulle sur ]−1,1[]-1,1[ et égale à 11 au point x=1x=1.

3. Quelle condition caractérise la convergence uniforme de (fn)\left(f_n\right) vers ff sur AA ?

La norme uniforme ∥fn−f∥∞\lVert f_n-f\rVert_\infty tend vers zéro
Pour chaque x∈Ax\in A, la suite fn(x)f_n(x) converge vers f(x)f(x)
La différence fn(x)−f(x)f_n(x)-f(x) tend vers zéro pour un point fixé de AA
Les fonctions fnf_n prennent une valeur constante sur AA à partir d’un certain rang

La norme uniforme $$\lVert f_n-f\rVert_\infty$$ tend vers zéro

Explication

La convergence uniforme signifie que l’écart maximal entre fnf_n et ff sur AA tend vers zéro, ce qui s’écrit ∥fn−f∥∞→0\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0. Une convergence point par point ne contrôle pas nécessairement cet écart simultanément sur tout le domaine.

4. Comment s’écrit la norme uniforme d’une fonction gg définie sur AA à valeurs dans un espace normé FF ?

∥g∥∞=sup⁡x∈Ag(x)\lVert g\rVert_\infty=\sup_{x\in A}g(x)
∥g∥∞=sup⁡x∈A∥g(x)∥F\lVert g\rVert_\infty=\sup_{x\in A}\lVert g(x)\rVert_F
∥g∥∞=lim⁡x→∞∥g(x)∥F\lVert g\rVert_\infty=\lim_{x\to\infty}\lVert g(x)\rVert_F
∥g∥∞=∫A∥g(x)∥F dx\lVert g\rVert_\infty=\int_A\lVert g(x)\rVert_F\,dx

$$\lVert g\rVert_\infty=\sup_{x\in A}\lVert g(x)\rVert_F$$

Explication

La norme uniforme est le supremum, sur tous les points de AA, de la norme des valeurs g(x)g(x) dans FF. L’intégrale mesure une grandeur globale différente, tandis que le dernier choix omet la norme dans l’espace d’arrivée.

5. Quelle implication est toujours valable lorsqu’une suite de fonctions converge uniformément sur AA vers ff ?

Elle converge simplement sur AA vers la même fonction ff
Elle converge vers zéro en chaque point de AA
Elle possède une limite indépendante du domaine considéré
Elle converge uniformément sur tout domaine contenant AA vers une autre fonction

Elle converge simplement sur $$A$$ vers la même fonction $$f$$

Explication

La convergence uniforme fournit un contrôle global de l’écart et entraîne donc la convergence simple vers la même limite sur AA. Elle n’impose ni une limite nulle ni une convergence uniforme sur un domaine plus grand.

6. Comment peut-on établir qu’une suite, déjà convergente simplement vers ff, ne converge pas uniformément ?

Trouver une suite xnx_n telle que ∥fn(xn)−f(xn)∥F\lVert f_n(x_n)-f(x_n)\rVert_F ne tende pas vers zéro
Montrer que fn−ff_n-f est bornée sur le domaine considéré
Calculer une valeur de fn(x)−f(x)f_n(x)-f(x) en un point fixe du domaine
Vérifier que fn(x)f_n(x) converge vers f(x)f(x) pour chaque point fixé xx

Trouver une suite $$x_n$$ telle que $$\lVert f_n(x_n)-f(x_n)\rVert_F$$ ne tende pas vers zéro

Explication

Il suffit de produire des points xnx_n, éventuellement variables avec nn, où l’écart ne devient pas petit. La convergence en chaque point fixé ou la simple bornitude de l’écart ne suffit pas à exclure la convergence uniforme.

7. Pourquoi la convergence simple de fn(x)=xnf_n(x)=x^n vers sa limite sur ]−1,1]]-1,1] n’est-elle pas uniforme ?

Parce que sup⁡∣fn−f∣=1\sup\lvert f_n-f\rvert=1 pour tout nn
Parce que la norme uniforme de fn−ff_n-f tend vers zéro trop lentement
Parce que fn(x)f_n(x) ne converge vers aucune limite lorsque x∈]−1,1[x\in]-1,1[
Parce que la limite simple vaut zéro au point x=1x=1

Parce que $$\sup\lvert f_n-f\rvert=1$$ pour tout $$n$$

Explication

Sur ]−1,1]]-1,1], le supremum de l’écart entre xnx^n et sa limite reste égal à 11 pour tout nn, donc il ne tend pas vers zéro. La convergence point par point est pourtant bien présente, notamment avec une limite égale à 11 en x=1x=1.

8. Soit chaque fonction fnf_n continue sur un ensemble AA et supposons que fnf_n converge uniformément vers ff sur AA. Quelle propriété possède nécessairement ff ?

ff est continue sur AA
ff est dérivable sur AA
ff est uniformément continue sur AA
ff est bornée sur AA

$$f$$ est continue sur $$A$$

Explication

La convergence uniforme préserve la continuité lorsque toutes les fonctions de la suite sont continues. La convergence uniforme ne garantit toutefois pas à elle seule la dérivabilité, la bornitude ou la continuité uniforme de la limite.

9. Pourquoi la suite fn(x)=xnf_n(x)=x^n sur ]−1,1]]-1,1] montre-t-elle que la convergence simple ne suffit pas à préserver la continuité ?

La suite converge uniformément vers une fonction nulle qui devient discontinue au point 11
La limite vaut xx sur ]−1,1[]-1,1[ et 11 en 11, ce qui crée une rupture en 11
Chaque fonction vaut 11 en 11, mais la suite ne converge vers aucune fonction sur l’intervalle
Sa limite vaut 00 sur ]−1,1[]-1,1[ et 11 en 11, donc elle est discontinue en 11

Sa limite vaut $$0$$ sur $$]-1,1[$$ et $$1$$ en $$1$$, donc elle est discontinue en $$1$$

Explication

Pour ∣x∣<1|x|<1, on a xn→0x^n\to0, tandis que fn(1)=1f_n(1)=1 pour tout nn, donc la limite est discontinue en 11. Cet exemple illustre qu’une convergence simple de fonctions continues ne suffit pas à assurer la continuité de la limite.

10. Si fnf_n converge uniformément vers ff sur AA et si chaque fnf_n admet une limite λn\lambda_n en un point adhérent aa, quelle conclusion est valable ?

La suite λn\lambda_n peut diverger, même si f(x)f(x) possède une limite en aa
La suite λn\lambda_n converge vers une limite λ\lambda et f(x)f(x) tend vers λ\lambda quand xx tend vers aa
La limite de f(x)f(x) en aa existe, mais elle peut être différente de toute limite éventuelle de λn\lambda_n
La convergence uniforme impose que chaque λn\lambda_n soit égale à la limite de f(x)f(x) en aa

La suite $$\lambda_n$$ converge vers une limite $$\lambda$$ et $$f(x)$$ tend vers $$\lambda$$ quand $$x$$ tend vers $$a$$

Explication

La convergence uniforme permet de contrôler simultanément l’écart entre fnf_n et ff et d’échanger les deux passages à la limite. Ainsi, λn\lambda_n converge vers λ\lambda et f(x)→λf(x)\to\lambda lorsque x→ax\to a.

11. À une borne infinie d’un intervalle, quelles hypothèses permettent d’écrire lim⁡n→∞λn=lim⁡x→af(x)\lim_{n\to\infty}\lambda_n=\lim_{x\to a}f(x) ?

La convergence uniforme de fnf_n vers ff et la dérivabilité de chaque fnf_n près de la borne
La convergence simple de fnf_n vers ff et la continuité de chaque fnf_n au voisinage de aa
La convergence uniforme de fnf_n vers ff et l’existence de lim⁡x→afn(x)=λn\lim_{x\to a}f_n(x)=\lambda_n pour chaque nn
La convergence simple de fnf_n vers ff et la convergence de la suite des valeurs fn(a)f_n(a)

La convergence uniforme de $$f_n$$ vers $$f$$ et l’existence de $$\lim_{x\to a}f_n(x)=\lambda_n$$ pour chaque $$n$$

Explication

Aux bornes +∞+\infty ou −∞-\infty, la convergence uniforme, jointe à l’existence des limites individuelles λn\lambda_n, autorise l’échange des limites en nn et en xx. La continuité ou la dérivabilité ne remplacent pas cette hypothèse de convergence uniforme.

12. Soit fnf_n convergeant uniformément vers ff sur tout segment d’un intervalle II, et définissons Fn(x)=∫axfn(t) dtF_n(x)=\int_a^x f_n(t)\,dt. Vers quelle fonction FnF_n converge-t-elle uniformément sur tout segment JJ de II ?

Vers une constante égale à ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt pour tout x∈Jx\in J
Vers F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt
Vers F(x)=∫axfn(t) dtF(x)=\int_a^x f_n(t)\,dt évaluée à la limite
Vers F(x)=f(x)−f(a)F(x)=f(x)-f(a)

Vers $$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

Explication

La convergence uniforme des intégrandes sur chaque segment permet de transmettre cette convergence aux fonctions définies par intégration. La limite est donc la primitive intégrale F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt, et non une expression construite directement à partir de f(x)f(x).

13. Sur le segment J=[c,d]J=[c,d], quelle inégalité contrôle l’écart uniforme entre Fn(x)=∫axfn(t) dtF_n(x)=\int_a^x f_n(t)\,dt et F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt ?

∥Fn−F∥∞≤1d−c∥fn−f∥∞\lVert F_n-F\rVert_\infty\le\dfrac{1}{d-c}\lVert f_n-f\rVert_\infty
∥Fn−F∥∞≤(d−c)∥fn−f∥∞\lVert F_n-F\rVert_\infty\le(d-c)\lVert f_n-f\rVert_\infty
∥Fn−F∥∞≤∥fn−f∥∞d−c\lVert F_n-F\rVert_\infty\le\lVert f_n-f\rVert_\infty^{d-c}
∥Fn−F∥∞≤(d+c)∥fn−f∥∞\lVert F_n-F\rVert_\infty\le(d+c)\lVert f_n-f\rVert_\infty

$$\lVert F_n-F\rVert_\infty\le(d-c)\lVert f_n-f\rVert_\infty$$

Explication

L’intégration de l’écart sur un intervalle de longueur d−cd-c donne l’estimation ∥Fn−F∥∞≤(d−c)∥fn−f∥∞\lVert F_n-F\rVert_\infty\le(d-c)\lVert f_n-f\rVert_\infty. Le facteur est donc la longueur du segment, et non son inverse, sa puissance ou la somme de ses bornes.

14. Que montre la suite fn(x)=n2xn(1−x)f_n(x)=n^2x^n(1-x) sur [0,1][0,1] concernant l’interversion entre limite et intégrale ?

Elle converge uniformément vers 00, et ses intégrales tendent également vers 00 par continuité de l’intégrale
Elle converge simplement vers 00, mais ses intégrales tendent vers 11, donc l’interversion échoue sans convergence uniforme
Elle ne converge en aucun point de [0,1][0,1], mais ses intégrales tendent vers 11 par croissance de n2n^2
Elle converge simplement vers 11, tandis que ses intégrales tendent vers 00 à cause du facteur 1−x1-x

Elle converge simplement vers $$0$$, mais ses intégrales tendent vers $$1$$, donc l’interversion échoue sans convergence uniforme

Explication

La suite converge ponctuellement vers zéro sur [0,1][0,1], alors que l’intégrale de chaque fonction tend vers 11. L’exemple montre que la convergence simple ne suffit pas pour intervertir limite et intégrale, contrairement à la convergence uniforme.

15. Quelles hypothèses permettent de conclure que la limite d’une suite de fonctions est de classe C1C^1 et que sa dérivée est la limite des dérivées ?

La convergence simple des fonctions et la convergence uniforme des dérivées sur tout segment
La convergence simple des fonctions et des dérivées sur tout l’intervalle
La convergence uniforme des fonctions et la convergence simple des dérivées sur tout segment
La convergence uniforme des fonctions et des dérivées sur tout l’intervalle

La convergence simple des fonctions et la convergence uniforme des dérivées sur tout segment

Explication

La convergence uniforme des dérivées sur tout segment, associée à la convergence simple des fonctions, permet de préserver la dérivabilité dans la limite. La convergence simple des dérivées ne suffit pas à garantir cette conclusion.

16. Lorsque les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme sont satisfaites, quelle égalité peut-on établir ?

lim⁡n→∞fn′=(lim⁡n→∞fn)′=f′\lim_{n\to\infty} f_n' = \left(\lim_{n\to\infty} f_n\right)' = f'
lim⁡n→∞fn′=(lim⁡n→∞fn)=f\lim_{n\to\infty} f_n' = \left(\lim_{n\to\infty} f_n\right) = f
lim⁡n→∞fn=(lim⁡n→∞fn′)′=f′′\lim_{n\to\infty} f_n = \left(\lim_{n\to\infty} f_n'\right)' = f''
lim⁡n→∞fn′′=(lim⁡n→∞fn′)=f′\lim_{n\to\infty} f_n'' = \left(\lim_{n\to\infty} f_n'\right) = f'

$$\lim_{n\to\infty} f_n' = \left(\lim_{n\to\infty} f_n\right)' = f'$$

Explication

Les hypothèses autorisent l’interversion entre passage à la limite et dérivation, donc la limite des dérivées coïncide avec la dérivée de la limite. Les autres égalités confondent les fonctions avec leurs dérivées ou introduisent un ordre de dérivation non justifié.

17. Pour appliquer le théorème aux dérivées d’ordre supérieur jusqu’à l’ordre kk, quelle condition de convergence est requise pour les dérivées d’ordre kk ?

Elles doivent converger simplement sur tout segment.
Elles doivent converger simplement sur tout l’intervalle.
Elles doivent converger uniformément sur tout segment.
Elles doivent converger uniformément sur tout l’intervalle.

Elles doivent converger uniformément sur tout segment.

Explication

La convergence uniforme des dérivées d’ordre maximal kk sur tout segment garantit la régularité CkC^k de la limite. Les dérivées d’ordres inférieurs peuvent, quant à elles, se contenter d’une convergence simple.

18. Sous les hypothèses du théorème d’ordre supérieur, comment s’exprime la dérivée d’ordre ll de la fonction limite pour 1≤l≤k1\le l\le k ?

Elle est la limite simple des dérivées d’ordre zéro des fonctions de la suite.
Elle est la dérivée d’ordre kk de la fonction limite, divisée par ll.
Elle est la limite uniforme des fonctions de la suite après ll intégrations.
Elle est la limite simple des dérivées d’ordre ll des fonctions de la suite.

Elle est la limite simple des dérivées d’ordre $$l$$ des fonctions de la suite.

Explication

Le théorème identifie, pour chaque ll compris entre 11 et kk, la dérivée d’ordre ll de la limite à la limite simple des dérivées correspondantes. La convergence uniforme concerne spécifiquement le dernier ordre et ne transforme pas les dérivées en primitives ou en dérivées d’ordre kk.

19. Quelles conditions caractérisent l’application du théorème de convergence dominée à une suite fnf_n ?

fnf_n converge uniformément vers ff et il existe une fonction bornée φ\varphi telle que ∣fn(x)∣≤φ(x)|f_n(x)|\le\varphi(x).
fnf_n converge simplement vers ff et il existe une fonction intégrable φ\varphi telle que ∣fn(x)∣≤φ(x)|f_n(x)|\le\varphi(x).
fnf_n converge uniformément vers ff et les intégrales de toutes les fonctions fnf_n sont bornées.
fnf_n converge simplement vers ff et chaque fonction fnf_n possède une dominante intégrable différente.

$$f_n$$ converge simplement vers $$f$$ et il existe une fonction intégrable $$\varphi$$ telle que $$|f_n(x)|\le\varphi(x)$$.

Explication

Le théorème exige une convergence simple et une majoration commune par une fonction intégrable. Une convergence simple sans dominante intégrable, même accompagnée de bornes séparées, ne suffit pas à intervertir limite et intégrale.

20. Quelle conclusion le théorème de convergence dominée permet-il de tirer sous ses hypothèses ?

Chaque fnf_n et la limite ff sont intégrables, et lim⁡n→∞∫Ifn(t) dt=∫If(t) dt\lim_{n\to\infty}\int_I f_n(t)\,dt=\int_I f(t)\,dt.
La limite des intégrales est égale à l’intégrale de ff lorsque la dominante est seulement bornée.
La convergence simple entraîne l’égalité des intégrales dès que les fonctions sont définies sur II.
Les intégrales des fnf_n convergent, même si la limite ff n’est pas intégrable.

Chaque $$f_n$$ et la limite $$f$$ sont intégrables, et $$\lim_{n\to\infty}\int_I f_n(t)\,dt=\int_I f(t)\,dt$$.

Explication

Une dominante intégrable assure l’intégrabilité de chaque fonction et de la limite, puis autorise l’interversion entre limite et intégrale. Une simple majoration bornée ou la convergence simple sans domination intégrable ne garantit pas cette propriété.

21. Après un changement de variable dépendant de nn, quelle succession d’étapes permet d’appliquer la convergence dominée ?

Calculer directement les intégrales, réunir les domaines, choisir une dominante dépendant de nn, puis prendre la limite
Réunir les domaines, majorer par une fonction constante, calculer la limite des intégrales, puis changer de variable
Trouver une primitive commune, calculer la limite uniforme, modifier la dominante, puis intervertir les deux intégrales
Réunir les domaines, calculer la limite simple, trouver une dominante intégrable indépendante de nn, puis intervertir limite et intégrale

Réunir les domaines, calculer la limite simple, trouver une dominante intégrable indépendante de $$n$$, puis intervertir limite et intégrale

Explication

La méthode exige un domaine commun, une limite simple et une dominante intégrable indépendante de nn avant d’échanger limite et intégrale. Une dominante qui dépend de nn ne satisfait pas l’hypothèse nécessaire, même si elle majore chaque fonction de la suite.

22. Quelle fonction fournit une dominante intégrable pour fn(t)=1(1+t2)nf_n(t)=\frac{1}{(1+t^2)^n} sur [0,+∞[[0,+\infty[ et permet de déterminer la limite de l’intégrale ?

La fonction φ(t)=11+t2\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, dont la décroissance suffit à assurer l’intégrabilité
La fonction constante φ(t)=1\varphi(t)=1, dont l’intégrale converge sur le domaine
La fonction φ(t)=11+t2\varphi(t)=\frac{1}{1+t^2}, dont l’intégrale converge sur le domaine
La fonction φ(t)=1(1+t2)n\varphi(t)=\frac{1}{(1+t^2)^n}, choisie pour chaque valeur de nn

La fonction $$\varphi(t)=\frac{1}{1+t^2}$$, dont l’intégrale converge sur le domaine

Explication

La fonction 11+t2\frac{1}{1+t^2} domine la suite et est intégrable sur [0,+∞[[0,+\infty[, tandis que la limite simple vaut zéro pour tout t>0t>0. La fonction constante 11 n’est pas intégrable sur cet intervalle, et la dominante doit être indépendante de nn.

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Qu'est-ce que la convergence simple d'une suite de fonctions ?

La convergence simple signifie que pour tout x dans D, fn(x) converge vers f(x).

Quel est le domaine de convergence simple pour fn(x)=x^n ?

Le domaine est ]−1,1].

Quelle est la limite de fn(x)=x^n sur ]−1,1[ ?

La limite est nulle sur ]−1,1[.

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