QCM : Équation complexe et changement de variable — 5 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle équation polynomiale en zz est étudiée dans ce problème ?

z4+2z3+2z2+2z+1=0z^4+2z^3+2z^2+2z+1=0
z4−2z3+2z2−2z+1=0z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0
z4+2z3+2z2−2z+1=0z^4+2z^3+2z^2-2z+1=0
z4+2z3−2z2+2z+1=0z^4+2z^3-2z^2+2z+1=0

$$z^4+2z^3+2z^2-2z+1=0$$

Explication

L’équation étudiée possède les termes z4z^4, 2z32z^3, 2z22z^2, −2z-2z et le terme constant 11. Les autres expressions modifient au moins un coefficient ou un signe de l’équation donnée.

2. Si z0z_0 est une solution de l’équation étudiée, quelle autre propriété découle du fait que ses coefficients sont réels ?

z02z_0^2 est également une solution.
1z0\frac{1}{z_0} est également une solution.
z0‾\overline{z_0} est également une solution.
−z0-z_0 est également une solution.

$$\overline{z_0}$$ est également une solution.

Explication

Un polynôme à coefficients réels prend des valeurs conjuguées en des nombres complexes conjugués, donc la conjugée de toute racine est aussi une racine. Les trois autres transformations ne résultent pas de la seule réalité des coefficients.

3. Quelle forme obtient-on après avoir divisé l’équation par z2z^2 ?

z2+1z2−2(z−1z)+2=0z^2+\frac{1}{z^2}-2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2=0
z2+1z2+2(z+1z)−2=0z^2+\frac{1}{z^2}+2\left(z+\frac{1}{z}\right)-2=0
z2+1z2+2(z−1z)+2=0z^2+\frac{1}{z^2}+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2=0
z2−1z2+2(z+1z)+2=0z^2-\frac{1}{z^2}+2\left(z+\frac{1}{z}\right)+2=0

$$z^2+\frac{1}{z^2}+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2=0$$

Explication

La division terme à terme par z2z^2 conduit à z2+1z2+2(z−1z)+2=0z^2+\frac{1}{z^2}+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2=0. Les autres formes changent le signe d’un terme ou remplacent une différence par une somme.

4. En posant u=z−1zu=z-\frac{1}{z}, quelle relation permet de remplacer z2+1z2z^2+\frac{1}{z^2} ?

u2=z2−1z2−2u^2=z^2-\frac{1}{z^2}-2
u2=z2+1z2−1u^2=z^2+\frac{1}{z^2}-1
u2=z2+1z2+2u^2=z^2+\frac{1}{z^2}+2
u2=z2+1z2−2u^2=z^2+\frac{1}{z^2}-2

$$u^2=z^2+\frac{1}{z^2}-2$$

Explication

En développant u2=(z−1z)2u^2=\left(z-\frac{1}{z}\right)^2, on obtient z2−2+1z2z^2-2+\frac{1}{z^2}, soit la relation indiquée. Le signe du terme constant provient du produit croisé dans le carré d’une différence.

5. Quelle factorisation correspond à l’expression transformée de l’équation ?

z2[(z+1z)2+2(z−1z)+4]=0z^2\left[\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+4\right]=0
z2[(z−1z)2+2(z−1z)+2]=0z^2\left[\left(z-\frac{1}{z}\right)^2+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2\right]=0
z2[(z−1z)2−2(z−1z)+4]=0z^2\left[\left(z-\frac{1}{z}\right)^2-2\left(z-\frac{1}{z}\right)+4\right]=0
z2[(z−1z)2+2(z−1z)+4]=0z^2\left[\left(z-\frac{1}{z}\right)^2+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+4\right]=0

$$z^2\left[\left(z-\frac{1}{z}\right)^2+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+4\right]=0$$

Explication

La forme transformée regroupe les termes sous le facteur z2z^2 et contient le carré de z−1zz-\frac{1}{z}, le terme linéaire de coefficient 22 et la constante 44. Les autres factorisations modifient soit la substitution, soit un signe, soit la constante finale.

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Quelle est l'équation étudiée dans cette section ?

z4+2z3+2z2−2z+1=0z^4+2z^3+2z^2-2z+1=0

Que garantit la réalité des coefficients pour les solutions de l'équation ?

Si z0z_0 est solution, alors sa conjuguée z0ˉ\bar{z_0} est aussi solution.

Quelle est la forme de l'équation après division par z2z^2 ?

z2+1z2+2(z−1z)+2=0z^2+\frac{1}{z^2}+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2=0.

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