Équation complexe et changement de variable

📋 Plan du Cours

1. Racines conjuguées de l’équation
2. Réduction par substitution

📖 1. Racines conjuguées de l’équation

📝 Points essentiels

📌 Comme les coefficients de l’équation sont réels, si z₀ est une solution, alors sa conjuguée \bar{z₀} est également une solution.

📐 Formule — L’équation étudiée est $z^4+2z^3+2z^2-2z+1=0$.

💡 Astuce mémo

Une racine z₀ entraîne sa conjuguée \bar{z₀}.

📖 2. Réduction par substitution

★ À maîtriser

• Après division par z², l’équation devient $z^2+\frac{1}{z^2}+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+2=0$.

📐 Formule — En posant $u=z-\frac{1}{z}$, on obtient $u^2=z^2+\frac{1}{z^2}-2$.

📐 Formule — L’expression transformée s’écrit $z^2\left[\left(z-\frac{1}{z}\right)^2+2\left(z-\frac{1}{z}\right)+4\right]=0$.

Compléments

📌 Le terme z² ne peut pas être nul dans l’équation, car pour z=0 le membre de gauche vaut 1 ; la division par z² est donc légitime.

💡 Astuce mémo

Diviser par z², poser u = z − 1/z, puis réduire l’expression.