Suites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Convergence simple
2. Convergence uniforme
3. Critères de non-convergence uniforme
4. Continuité de la limite
5. Double limite
6. Intégration et limite uniforme
7. Dérivation terme à terme
8. Dérivées d’ordre supérieur
9. Théorème de convergence dominée
10. Applications de la convergence dominée

📖 1. Convergence simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence simple : si, pour tout x appartenant à D, la suite (fn(x)) converge vers f(x).

★ À maîtriser

• Pour fn(x)=x^n, le domaine de convergence simple est ]−1,1], avec une limite nulle sur ]−1,1[ et une limite égale à 1 en x=1.

Compléments

• Le domaine de convergence simple est l’ensemble des points où la suite numérique (fn(x)) converge.

• Pour fn(x)=(1−x/n)^n lorsque x≤n et fn(x)=0 sinon, la suite converge simplement sur ℝ vers la fonction f(x)=e^(−x).

💡 Astuce mémo

Fixer x, calculer fn(x), puis identifier f(x)

📖 2. Convergence uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence uniforme : si la norme uniforme vérifie ||fn−f||∞→0.