Fiche de révision : Suites, dérivation et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et variations des suites
2. Suites arithmétiques et sommes
3. Suites géométriques et sommes
4. Nombre dérivé et tangente
5. Dérivées usuelles et opérations
6. Variations et extrema locaux
7. Principe et étapes de récurrence
8. Récurrence et suites particulières

📖 1. Définition et variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, et $u_n$ est son terme d’indice $n$.
• Suite croissante : Pour tout entier $n$, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Pour tout entier $n$, $u_n\geq u_{n+1}$.

★ À maîtriser

📌 Une suite définie explicitement donne $u_n=f(n)$ pour tout $n$, tandis qu’une suite définie par récurrence donne son ou ses premiers termes et une relation pour calculer les termes suivants à partir des précédents.

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$, comparer $u_{n+1}/u_n$ à $1$ si ses termes sont strictement positifs, ou étudier la fonction sous-jacente si la suite est définie explicitement.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=2n^2-3n+5$, on obtient $u_{10}=175$.

• Pour une suite définie explicitement, la suite et sa fonction sous-jacente ont le même sens de variation.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : l’indice donne le terme ; récurrence : le terme précédent le construit.

📖 2. Suites arithmétiques et sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite de terme initial $u_0$ et de raison $r$ qui vérifie $u_{n+1}=u_n+r$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme général d’une suite arithmétique de terme initial $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+nr$.

📌 Une suite arithmétique est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$ et constante si $r=0$.

📐 Formule - La somme des $n$ premiers termes d’une suite arithmétique est $S=u_0+\cdots+u_{n-1}=n\frac{u_0+u_{n-1}}{2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, quels que soient les entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$.

📐 Formule - La somme des $n$ premiers entiers positifs vaut $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📖 3. Suites géométriques et sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite de terme initial $u_0$ et de raison $q$ qui vérifie $u_{n+1}=u_nq$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme général d’une suite géométrique de terme initial $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$.

📌 Si $q>0$, une suite géométrique est décroissante pour $u_0>0$ et $0<q<1$, constante pour $q=1$, croissante pour $u_0>0$ et $q>1$, croissante pour $u_0<0$ et $0<q<1$, et décroissante pour $u_0<0$ et $q>1$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison $q\neq1$, la somme des $n$ premiers termes est $S=u_0+\cdots+u_{n-1}=u_0\frac{1-q^n}{1-q}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite géométrique, quels que soient les entiers $n$ et $p$, $u_n=u_pq^{n-p}$.

• Si $q<0$, les termes d’une suite géométrique changent de signe à chaque itération et la suite n’est pas monotone.

📖 4. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Fonction dérivable en $a$ si le taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel lorsque $h$ tend vers $0$ ; ce réel, noté $f'(a)$, est le nombre dérivé de $f$ en $a$.
• Tangente : La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe par le point de la courbe d’abscisse $a$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 5. Dérivées usuelles et opérations

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles sont : $k\mapsto0$, $x\mapsto1$, $mx+p\mapsto m$, $x^2\mapsto2x$, $x^3\mapsto3x^2$, $x^n\mapsto nx^{n-1}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$, et $x^n\mapsto nx^{n-1}$ pour $n\in\mathbb{Z}$ négatif, avec $x\neq0$ dans ce dernier cas.

• Les dérivées usuelles sont : $(1/x)'=-1/x^2$ pour $x\neq0$, $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ pour $x>0$, $(e^x)'=e^x$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

• Les règles de dérivation sont $(u+v)'=u'+v'$, $(ku)'=ku'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(u^2)'=2uu'$, $(1/v)'=-v'/v^2$ et $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$.

Compléments

📌 Le quotient $u/v$ n’est défini ni dérivable lorsque $v$ s’annule.

• Pour une fonction composée affine, $(f(mx+p))'=mf'(mx+p)$, $(e^{mx+p})'=me^{mx+p}$, $(\sin(mx+p))'=m\cos(mx+p)$ et $(\cos(mx+p))'=-m\sin(mx+p)$.

📖 6. Variations et extrema locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum local : S’il existe un intervalle $J$ contenant $x_0$ tel que $f(x)\leq f(x_0)$ pour tout $x\in J\cap I$.
• Minimum local : S’il existe un intervalle $J$ contenant $x_0$ tel que $f(x)\geq f(x_0)$ pour tout $x\in J\cap I$.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction dérivable sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si et seulement si $f'(x)\geq0$ sur $I$, décroissante si et seulement si $f'(x)\leq0$ sur $I$, et constante si et seulement si $f'(x)=0$ sur $I$.

📌 Si une fonction dérivable sur un intervalle ouvert admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.

Compléments

📌 Si $f'$ s’annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.

💡 Astuce mémo

Le signe de la dérivée détermine le sens de variation.

📖 7. Principe et étapes de récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence une propriété $P(n)$ pour $n\geq n_0$, on vérifie $P(n_0)$, on démontre que pour tout $k\geq n_0$, $P(k)$ entraîne $P(k+1)$, puis on conclut que $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.

Compléments

• Le principe de récurrence est un axiome qui définit les entiers et ne reçoit donc pas de preuve dans ce cadre.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 8. Récurrence et suites particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Suite définie par un premier terme et une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=qu_n+r$, où $q$ et $r$ sont des réels.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel $a>0$ et tout entier naturel $n$, l’inégalité de Bernoulli affirme que $(1+a)^n\geq1+na$.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+1/3$, les trois premières valeurs sont $u_0=1$, $u_1=4/3$ et $u_2=5/3$.