QCM : Suites, dérivation et récurrence (24 questions)

Question 1

1. On considère une suite numérique $(u_n)$ . Quelle description correspond à cette notion ?

Une fonction de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{R}

, dont

n

est le terme d’indice

u_n

Une fonction de

\mathbb{N}

vers

\mathbb{N}

, dont

n

est le terme d’indice

u_n

Une fonction de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{N}

, dont

u_n

est le terme d’indice

n

Une fonction de

\mathbb{N}

vers

\mathbb{R}

, dont

u_n

est le terme d’indice

n

Explication

Une suite numérique associe à chaque indice naturel un réel, et $u_n$ désigne la valeur correspondant à l’indice $n$ . Les choix faisant des indices des réels ou des valeurs des naturels confondent les ensembles de départ et d’arrivée, tandis que l’inversion de $n$ et $u_n$ confond indice et terme.

Answer

Une fonction de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$, dont $$u_n$$ est le terme d’indice $$n$$

Question 2

2. Une suite est donnée par $u_0=4$ , puis par la règle $u_{n+1}=3u_n-2$ . Comment cette suite est-elle définie ?

Explicitement, par une formule donnant chaque terme en fonction du terme précédent

Explicitement, par une formule donnant chaque terme en fonction de son indice

Par récurrence, avec un premier terme et une règle utilisant le terme précédent

Par récurrence, avec une règle donnant chaque terme directement en fonction de son indice

Explication

Une définition par récurrence fournit un ou plusieurs premiers termes et une relation calculant les suivants à partir des précédents. Une formule en fonction directe de l’indice est explicite, et le fait qu’une relation utilise le terme précédent ne suffit pas à en faire une suite arithmétique.

Answer

Par récurrence, avec un premier terme et une règle utilisant le terme précédent

Question 3

3. Pour une suite donnée, on constate que $u_n\leq u_{n+1}$ pour chaque entier naturel $n$ . Quel est son sens de variation ?

Elle est croissante seulement si chaque inégalité est stricte

Elle est croissante, même si certains termes consécutifs sont égaux

Elle est décroissante, car ses termes sont comparés deux à deux

Elle est constante, car l’inégalité autorise l’égalité

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au suivant; l’égalité est donc permise. La décroissance inverse le sens de l’inégalité, la croissance stricte impose une condition plus forte, et une suite constante exige l’égalité à chaque rang.

Answer

Elle est croissante, même si certains termes consécutifs sont égaux

Question 4

4. Une suite est donnée explicitement par $u_n=f(n)$ , où $f$ est définie sur les réels. Quelle méthode peut-on utiliser pour étudier ses variations ?

Calculer les termes suivants à partir du terme précédent

Déduire les variations de la suite du signe de

u_0

Étudier les variations de

f

, qui sont celles de la suite

Comparer

u_{n+1}/u_n

à

1

, sans condition sur les termes

Explication

Pour une suite définie explicitement, étudier les variations de la fonction sous-jacente permet d’étudier celles de la suite. La comparaison des rapports nécessite des termes strictement positifs; le signe du premier terme ou une récurrence ne fournit pas ici la méthode correspondante.

Answer

Étudier les variations de $$f$$, qui sont celles de la suite

Question 5

5. Une suite commence par $u_0=6$ et augmente de $4$ à chaque rang. Quelle relation de récurrence la définit comme suite arithmétique ?

u_{n+1}=u_n+n+4

u_{n+1}=4u_n

u_{n+1}=u_n+4

u_{n+1}=u_n-4

Explication

Dans une suite arithmétique, le terme suivant s’obtient en ajoutant la raison au terme précédent; ici, la raison vaut $4$ . Multiplier par $4$ correspond à une autre règle, soustraire inverse le sens de l’évolution, et ajouter aussi $n$ fait varier l’écart entre les termes.

Answer

$$u_{n+1}=u_n+4$$

Question 6

6. Une suite arithmétique a pour terme initial $u_0=7$ et pour raison $r=-3$ . Quelle est la valeur de $u_5$ ?

-5

22

4

-8

Explication

Le terme général est $u_n=u_0+nr$ , donc $u_5=7+5(-3)=-8$ . Utiliser la valeur absolue donne $22$ , omettre le facteur $n$ donne $4$ , et ne compter que quatre augmentations de rang donne $-5$ .

Answer

Elle est constante

Answer

$$u_{n+1}=3u_n$$

Answer

$$5\times 2^4$$

Answer

Elle est croissante.

Answer

$$4\frac{1-2^3}{1-2}$$

Answer

$$f$$ est dérivable et $$f'(a)=-2$$.

Answer

$$f'(2)=5$$

Answer

$$y=2(x-3)+4$$

Answer

$$-3x^{-4}$$

Answer

$$\cos x+e^x$$

Answer

$$2x(x+1)+x^2$$

Answer

Décroissante

Answer

$$f'(3)=0$$

Answer

Vérifier $$P(3)$$, établir que $$P(k)$$ entraîne $$P(k+1)$$ pour tout $$k\geq3$$, puis conclure pour tout $$n\geq3$$

Answer

Un axiome qui contribue à définir les entiers

Answer

Une suite arithmético-géométrique de relation $$u_{n+1}=-3u_n+5$$

Question 7

7. Une suite arithmétique a pour raison $r=0$ . Quelle conclusion s’applique à son sens de variation ?

Elle est constante

Elle est décroissante et non constante

Son sens de variation ne peut pas être déterminé

Elle est croissante et non constante

Explication

Quand la raison est nulle, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante. Une raison positive indique une croissance et une raison négative une décroissance; aucune de ces deux situations ne correspond à $r=0$ .

Question 8

8. On calcule la somme des $6$ premiers termes d’une suite arithmétique, avec $u_0=2$ et $u_5=17$ . Quelle somme obtient-on ?

57

66

19

114

Explication

La somme des $6$ premiers termes vaut $6\frac{u_0+u_5}{2}=6\frac{2+17}{2}=57$ . Omettre la division par deux donne $114$ ; utiliser six intervalles donne $66$ , et additionner seulement les deux extrêmes donne $19$ .

Question 9

9. Une suite géométrique commence par $u_0=7$ et a pour raison $q=3$ . Quelle relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent ?

u_{n+1}=\frac{u_n}{3}

u_{n+1}=nu_n

u_{n+1}=u_n+3

u_{n+1}=3u_n

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la raison. Ajouter 3 correspond à une suite arithmétique, diviser par 3 utilise la raison inverse, et multiplier par l’indice ne définit pas la suite géométrique.

Question 10

10. Une suite géométrique a pour terme initial $u_0=5$ et pour raison $q=2$ . Quelle expression donne son terme d’indice 4 ?

5\times 2^4

5+4\times2

5\times2

5\times2^3

Explication

Le terme général est $u_n=u_0q^n$ ; ici, $u_4=5\times2^4$ . L’addition décrit une progression arithmétique, l’exposant 3 oublie une itération, et la multiplication par 2 seule ne calcule que le premier terme après $u_0$ .

Question 11

11. Une suite géométrique a un terme initial négatif et une raison comprise entre 0 et 1. Quel est son sens de variation ?

Elle est constante.

Elle est croissante.

Elle est décroissante.

Elle n’est pas monotone.

Explication

Pour $u_0<0$ et $0<q<1$ , la suite géométrique est croissante. Le cas $u_0>0$ donne une suite décroissante, la décroissance correspond ici à $q>1$ , et l’absence de monotonie concerne une raison négative.

Question 12

12. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0=4$ et de raison $q=2$ , quelle expression donne la somme des trois premiers termes ?

4\frac{1-2^2}{1-2}

4\frac{1-2}{1-2^3}

4\frac{1-2^3}{1-2}

3\frac{4+12}{2}

Explication

La somme des $n$ premiers termes vaut $u_0\frac{1-q^n}{1-q}$ ; avec trois termes, on obtient $4\frac{1-2^3}{1-2}=28$ . L’exposant 2 compte mal les termes, la fraction inversée n’est pas la formule, et la dernière expression applique la formule d’une somme arithmétique.

Question 13

13. Pour une fonction $f$ , le taux d’accroissement en $a$ tend vers $-2$ lorsque $h$ tend vers 0. Que peut-on conclure sur $f$ en $a$ ?

f'(a)=2

.

f

est dérivable et

f'(a)=-2

.

f(a)=-2

.

La tangente en

a

a pour ordonnée à l’origine

-2

.

Explication

Si le taux d’accroissement tend vers un réel, la fonction est dérivable en ce point et cette limite est le nombre dérivé : ici $f'(a)=-2$ . La valeur de la fonction et l’ordonnée à l’origine sont des notions distinctes, tandis que $2$ inverse le signe de la limite.

Question 14

14. Au point d’abscisse $a=2$ , une courbe possède une tangente de coefficient directeur 5. Quelle valeur a le nombre dérivé en ce point ?

La tangente est le point de coordonnées

(2,5)

.

f'(2)=2

f'(2)=5

f'(2)=-5

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $a$ ; la pente donnée implique donc $f'(2)=5$ . La tangente est une droite, l’abscisse du point ne donne pas la pente, et l’opposé change à tort le signe.

Question 15

15. Une fonction vérifie $f(3)=4$ et $f'(3)=2$ . Quelle équation représente sa tangente au point d’abscisse 3 ?

y=4(x-3)+2

y=2(x-3)+4

y=2x+4

y=-2(x-3)+4

Explication

La tangente en $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; en remplaçant par les données, on obtient $y=2(x-3)+4$ . L’équation $2x+4$ oublie le décalage qui assure le passage par le point de tangence, la suivante échange pente et valeur, et la dernière inverse la pente.

Question 16

16. Pour $g(x)=x^{-3}$ avec $x\neq0$ , quelle est l’expression de $g'(x)$ ?

-3x^{-2}

x^{-4}

-3x^{-4}

3x^{-4}

Explication

La règle $(x^n)'=nx^{n-1}$ donne $g'(x)=-3x^{-4}$ . L’exposant $-2$ résulte d’une soustraction erronée, tandis que $3x^{-4}$ oublie le signe du coefficient.

Question 17

17. Pour $h(x)=\sin x+e^x$ , quelle est l’expression de $h'(x)$ ?

\sin x+1

-\sin x+e^x

\cos x+e^x

\cos x-\sin x

Explication

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ et celle de $e^x$ est $e^x$ ; la dérivation terme à terme donne donc $h'(x)=\cos x+e^x$ . $-\sin x$ est la dérivée du cosinus, et $1$ celle de la fonction identité.

Question 18

18. Pour $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit $u(x)v(x)$ ?

2x(x+1)

\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}

2x

2x(x+1)+x^2

Explication

La règle du produit est $(uv)'=u'v+uv'$ ; ici, elle donne $2x(x+1)+x^2$ puisque $u'=2x$ et $v'=1$ . $2x(x+1)$ oublie le terme $uv'$ , tandis que l’expression avec un dénominateur applique la règle du quotient.

Question 19

19. Une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)=-2$ sur l’intervalle $]1,5[$ . Quel est son sens de variation sur cet intervalle ?

Constante

Décroissante

Impossible à déterminer sans connaître le signe de

f(x)

Croissante

Explication

Une dérivée négative sur tout l’intervalle implique que $f$ y est décroissante. Une dérivée nulle caractériserait une fonction constante; le signe de $f(x)$ ne remplace pas l’étude du signe de sa dérivée.

Question 20

20. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local en $x_0=3$ . Quelle égalité doit alors vérifier sa dérivée en ce point ?

f'(x)=0

pour tout

x

de l’intervalle

f'(3)=0

f'(3)>0

f'(3)=3

Explication

Pour une fonction dérivable sur un intervalle ouvert, tout extremum local en $x_0$ impose $f'(x_0)=0$ . L’abscisse $3$ n’est pas la valeur de la dérivée, et cette condition ponctuelle n’implique pas que la dérivée soit nulle partout.

Question 21

21. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété est vraie pour tout entier $n\geq 3$ , quelle démarche faut-il suivre ?

Établir que

P(k)

entraîne

P(k+1)

pour tout

k\geq3

, puis conclure sans vérifier

P(3)

Vérifier

P(3)

, établir que

P(k)

entraîne

P(k+1)

pour tout

k\geq3

, puis conclure pour tout

n\geq3

Vérifier

P(3)

, établir que

P(k+1)

entraîne

P(k)

, puis conclure pour tout

n\geq3

Vérifier

P(3)

et quelques cas suivants, puis conclure sans démontrer l’hérédité

Explication

La récurrence exige une initialisation au rang de départ, l’hérédité de $k$ à $k+1$ , puis la conclusion pour tous les rangs concernés. Omettre $P(3)$ néglige l’initialisation, vérifier quelques cas ne prouve pas l’hérédité, et inverser l’implication ne démontre pas le passage requis.

Question 22

22. Dans le cadre du raisonnement sur les entiers, quel statut possède le principe de récurrence ?

Une propriété particulière des suites arithmétiques

Un théorème démontré à partir d’autres propriétés des entiers

Un axiome qui contribue à définir les entiers

Une méthode de démonstration qui s’applique aux réels

Explication

Le principe de récurrence est un axiome qui définit les entiers et ne reçoit donc pas de preuve dans ce cadre. Le qualifier de théorème à démontrer, l’étendre aux réels ou le réduire aux suites arithmétiques correspond à des confusions différentes.

Question 23

23. Une suite commence par $u_0=2$ et chaque terme suivant est obtenu en multipliant le terme courant par $-3$ puis en ajoutant $5$ . De quel type de suite s’agit-il ?

Une suite géométrique de raison

-3

et de premier terme

2

Une suite arithmético-géométrique de relation

u_{n+1}=-3u_n+5

Une suite arithmétique de raison

-3

et de premier terme

2

Une suite explicite de formule

u_n=-3n+5

Explication

Une suite arithmético-géométrique est définie par un premier terme et une récurrence de la forme $u_{n+1}=qu_n+r$ , ici avec $q=-3$ et $r=5$ . Une suite arithmétique ajoute une constante, une suite géométrique multiplie par une constante sans ajout, et la formule proposée ne décrit pas la récurrence donnée.

Question 24

24. Pour $a=0{,}2$ et $n=4$ , quelle borne inférieure l’inégalité de Bernoulli donne-t-elle pour $(1+a)^n$ ?

1{,}2

1{,}8

1{,}6

0{,}2

Explication

Bernoulli donne $(1+a)^n\geq1+na$ lorsque $a>0$ . Ici, $1+4\times0{,}2=1{,}8$ ; $1{,}2$ oublie le facteur $n$ , $0{,}2$ correspond à une soustraction, et $1{,}6$ utilise l’exposant $n-1$ .

QCM : Suites, dérivation et récurrence (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On considère une suite numérique $(u_n)$ . Quelle description correspond à cette notion ?

2. Une suite est donnée par $u_0=4$ , puis par la règle $u_{n+1}=3u_n-2$ . Comment cette suite est-elle définie ?

3. Pour une suite donnée, on constate que $u_n\leq u_{n+1}$ pour chaque entier naturel $n$ . Quel est son sens de variation ?

4. Une suite est donnée explicitement par $u_n=f(n)$ , où $f$ est définie sur les réels. Quelle méthode peut-on utiliser pour étudier ses variations ?

5. Une suite commence par $u_0=6$ et augmente de $4$ à chaque rang. Quelle relation de récurrence la définit comme suite arithmétique ?

6. Une suite arithmétique a pour terme initial $u_0=7$ et pour raison $r=-3$ . Quelle est la valeur de $u_5$ ?

7. Une suite arithmétique a pour raison $r=0$ . Quelle conclusion s’applique à son sens de variation ?

8. On calcule la somme des $6$ premiers termes d’une suite arithmétique, avec $u_0=2$ et $u_5=17$ . Quelle somme obtient-on ?

9. Une suite géométrique commence par $u_0=7$ et a pour raison $q=3$ . Quelle relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent ?

10. Une suite géométrique a pour terme initial $u_0=5$ et pour raison $q=2$ . Quelle expression donne son terme d’indice 4 ?

11. Une suite géométrique a un terme initial négatif et une raison comprise entre 0 et 1. Quel est son sens de variation ?

12. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0=4$ et de raison $q=2$ , quelle expression donne la somme des trois premiers termes ?

13. Pour une fonction $f$ , le taux d’accroissement en $a$ tend vers $-2$ lorsque $h$ tend vers 0. Que peut-on conclure sur $f$ en $a$ ?

14. Au point d’abscisse $a=2$ , une courbe possède une tangente de coefficient directeur 5. Quelle valeur a le nombre dérivé en ce point ?

15. Une fonction vérifie $f(3)=4$ et $f'(3)=2$ . Quelle équation représente sa tangente au point d’abscisse 3 ?

16. Pour $g(x)=x^{-3}$ avec $x\neq0$ , quelle est l’expression de $g'(x)$ ?

17. Pour $h(x)=\sin x+e^x$ , quelle est l’expression de $h'(x)$ ?

18. Pour $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit $u(x)v(x)$ ?

19. Une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)=-2$ sur l’intervalle $]1,5[$ . Quel est son sens de variation sur cet intervalle ?

20. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local en $x_0=3$ . Quelle égalité doit alors vérifier sa dérivée en ce point ?

21. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété est vraie pour tout entier $n\geq 3$ , quelle démarche faut-il suivre ?

22. Dans le cadre du raisonnement sur les entiers, quel statut possède le principe de récurrence ?

23. Une suite commence par $u_0=2$ et chaque terme suivant est obtenu en multipliant le terme courant par $-3$ puis en ajoutant $5$ . De quel type de suite s’agit-il ?

24. Pour $a=0{,}2$ et $n=4$ , quelle borne inférieure l’inégalité de Bernoulli donne-t-elle pour $(1+a)^n$ ?

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QCM : Suites, dérivation et récurrence (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On considère une suite numérique (un)(u_n)(un​). Quelle description correspond à cette notion ?

2. Une suite est donnée par u0=4u_0=4u0​=4, puis par la règle un+1=3un−2u_{n+1}=3u_n-2un+1​=3un​−2. Comment cette suite est-elle définie ?

3. Pour une suite donnée, on constate que un≤un+1u_n\leq u_{n+1}un​≤un+1​ pour chaque entier naturel nnn. Quel est son sens de variation ?

4. Une suite est donnée explicitement par un=f(n)u_n=f(n)un​=f(n), où fff est définie sur les réels. Quelle méthode peut-on utiliser pour étudier ses variations ?

5. Une suite commence par u0=6u_0=6u0​=6 et augmente de 444 à chaque rang. Quelle relation de récurrence la définit comme suite arithmétique ?

6. Une suite arithmétique a pour terme initial u0=7u_0=7u0​=7 et pour raison r=−3r=-3r=−3. Quelle est la valeur de u5u_5u5​ ?

7. Une suite arithmétique a pour raison r=0r=0r=0. Quelle conclusion s’applique à son sens de variation ?

8. On calcule la somme des 666 premiers termes d’une suite arithmétique, avec u0=2u_0=2u0​=2 et u5=17u_5=17u5​=17. Quelle somme obtient-on ?

9. Une suite géométrique commence par u0=7u_0=7u0​=7 et a pour raison q=3q=3q=3. Quelle relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent ?

10. Une suite géométrique a pour terme initial u0=5u_0=5u0​=5 et pour raison q=2q=2q=2. Quelle expression donne son terme d’indice 4 ?

11. Une suite géométrique a un terme initial négatif et une raison comprise entre 0 et 1. Quel est son sens de variation ?

12. Pour une suite géométrique de premier terme u0=4u_0=4u0​=4 et de raison q=2q=2q=2, quelle expression donne la somme des trois premiers termes ?

13. Pour une fonction fff, le taux d’accroissement en aaa tend vers −2-2−2 lorsque hhh tend vers 0. Que peut-on conclure sur fff en aaa ?

14. Au point d’abscisse a=2a=2a=2, une courbe possède une tangente de coefficient directeur 5. Quelle valeur a le nombre dérivé en ce point ?

15. Une fonction vérifie f(3)=4f(3)=4f(3)=4 et f′(3)=2f'(3)=2f′(3)=2. Quelle équation représente sa tangente au point d’abscisse 3 ?

16. Pour g(x)=x−3g(x)=x^{-3}g(x)=x−3 avec x≠0x\neq0x=0, quelle est l’expression de g′(x)g'(x)g′(x) ?

17. Pour h(x)=sin⁡x+exh(x)=\sin x+e^xh(x)=sinx+ex, quelle est l’expression de h′(x)h'(x)h′(x) ?

18. Pour u(x)=x2u(x)=x^2u(x)=x2 et v(x)=x+1v(x)=x+1v(x)=x+1, quelle expression donne la dérivée de leur produit u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) ?

19. Une fonction dérivable fff vérifie f′(x)=−2f'(x)=-2f′(x)=−2 sur l’intervalle ]1,5[]1,5[]1,5[. Quel est son sens de variation sur cet intervalle ?

20. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local en x0=3x_0=3x0​=3. Quelle égalité doit alors vérifier sa dérivée en ce point ?

21. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété est vraie pour tout entier n≥3n\geq 3n≥3, quelle démarche faut-il suivre ?

22. Dans le cadre du raisonnement sur les entiers, quel statut possède le principe de récurrence ?

23. Une suite commence par u0=2u_0=2u0​=2 et chaque terme suivant est obtenu en multipliant le terme courant par −3-3−3 puis en ajoutant 555. De quel type de suite s’agit-il ?

24. Pour a=0,2a=0{,}2a=0,2 et n=4n=4n=4, quelle borne inférieure l’inégalité de Bernoulli donne-t-elle pour (1+a)n(1+a)^n(1+a)n ?

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1. On considère une suite numérique $(u_n)$ . Quelle description correspond à cette notion ?

2. Une suite est donnée par $u_0=4$ , puis par la règle $u_{n+1}=3u_n-2$ . Comment cette suite est-elle définie ?

3. Pour une suite donnée, on constate que $u_n\leq u_{n+1}$ pour chaque entier naturel $n$ . Quel est son sens de variation ?

4. Une suite est donnée explicitement par $u_n=f(n)$ , où $f$ est définie sur les réels. Quelle méthode peut-on utiliser pour étudier ses variations ?

5. Une suite commence par $u_0=6$ et augmente de $4$ à chaque rang. Quelle relation de récurrence la définit comme suite arithmétique ?

6. Une suite arithmétique a pour terme initial $u_0=7$ et pour raison $r=-3$ . Quelle est la valeur de $u_5$ ?

7. Une suite arithmétique a pour raison $r=0$ . Quelle conclusion s’applique à son sens de variation ?

8. On calcule la somme des $6$ premiers termes d’une suite arithmétique, avec $u_0=2$ et $u_5=17$ . Quelle somme obtient-on ?

9. Une suite géométrique commence par $u_0=7$ et a pour raison $q=3$ . Quelle relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent ?

10. Une suite géométrique a pour terme initial $u_0=5$ et pour raison $q=2$ . Quelle expression donne son terme d’indice 4 ?

12. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0=4$ et de raison $q=2$ , quelle expression donne la somme des trois premiers termes ?

13. Pour une fonction $f$ , le taux d’accroissement en $a$ tend vers $-2$ lorsque $h$ tend vers 0. Que peut-on conclure sur $f$ en $a$ ?

14. Au point d’abscisse $a=2$ , une courbe possède une tangente de coefficient directeur 5. Quelle valeur a le nombre dérivé en ce point ?

15. Une fonction vérifie $f(3)=4$ et $f'(3)=2$ . Quelle équation représente sa tangente au point d’abscisse 3 ?

16. Pour $g(x)=x^{-3}$ avec $x\neq0$ , quelle est l’expression de $g'(x)$ ?

17. Pour $h(x)=\sin x+e^x$ , quelle est l’expression de $h'(x)$ ?

18. Pour $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit $u(x)v(x)$ ?

19. Une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)=-2$ sur l’intervalle $]1,5[$ . Quel est son sens de variation sur cet intervalle ?

20. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local en $x_0=3$ . Quelle égalité doit alors vérifier sa dérivée en ce point ?

21. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété est vraie pour tout entier $n\geq 3$ , quelle démarche faut-il suivre ?

23. Une suite commence par $u_0=2$ et chaque terme suivant est obtenu en multipliant le terme courant par $-3$ puis en ajoutant $5$ . De quel type de suite s’agit-il ?

24. Pour $a=0{,}2$ et $n=4$ , quelle borne inférieure l’inégalité de Bernoulli donne-t-elle pour $(1+a)^n$ ?