Fiche de révision : Suites et analyse des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des mathématiques
2. Logique et implication
3. Propositions et quantificateurs
4. Techniques de raisonnement
5. Ensembles et produits cartésiens
6. Limites et convergence des suites
7. Suites arithmétiques et géométriques
8. Suites arithmético-géométriques et récurrentes
9. Fonctions bijectives et réciproques
10. Continuité et valeurs intermédiaires
11. Bornes atteintes et dérivabilité
12. Accroissements finis et dérivées supérieures
13. Formules de Taylor et développements limités

📖 1. Vocabulaire des mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Donne la signification d’un terme à l’aide de concepts déjà définis et est acceptée sans démonstration.
• Proposition : En logique, une phrase qui ne peut être que vraie ou fausse ; en mathématiques, un énoncé vrai qui est démontré.
• Axiome : Vérité première à l’intérieur d’une théorie, acceptée sans démonstration, et l’ensemble des axiomes d’une théorie doit être non contradictoire.
• Théorème : Proposition considérée comme particulièrement intéressante ou importante ; logiquement, il ne diffère pas d’une proposition.
• Lemme : Proposition technique qui sert à démontrer un théorème et qui n’a généralement pas d’autre application.
• Corollaire : Proposition qui découle clairement d’un théorème établi et ne nécessite presque pas de démonstration.
• Conjecture : Proposition non démontrée que les mathématiciens cherchent à démontrer.

📖 2. Logique et implication

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Vraie quand A est fausse et fausse quand A est vraie.
• Implication : Vraie si A est fausse ou si A et B sont toutes deux vraies ; A est une condition suffisante de B, et B une condition nécessaire de A.

★ À maîtriser

📌 La proposition « A et B » est vraie si A et B sont toutes deux vraies, tandis que « A ou B » est vraie si au moins l’une des deux est vraie.

📌 La réciproque de A ⇒ B est B ⇒ A, tandis que l’équivalence A ⇔ B exige les deux implications A ⇒ B et B ⇒ A.

Compléments

• En logique classique, une phrase ne peut être que vraie ou fausse : c’est le principe du tiers exclu.

• La négation de « P et Q » est « non(P) ou non(Q) », et la négation de « P ou Q » est « non(P) et non(Q) ».

• La négation de l’implication A ⇒ B est la proposition A et non(B).

• L’implication A ⇒ B est équivalente à sa contraposée non(B) ⇒ non(A).

💡 Astuce mémo

L’implication va de l’hypothèse à la conclusion ; sa réciproque inverse ce sens.

📖 3. Propositions et quantificateurs

★ À maîtriser

• Les deux quantificateurs sont le quantificateur universel ∀, qui signifie « pour tout », et le quantificateur existentiel ∃, qui signifie « il existe au moins un ».

📌 La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que P(x) est fausse », et celle de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, P(x) est fausse ».

📌 Deux quantificateurs universels consécutifs peuvent être permutés, tout comme deux quantificateurs existentiels consécutifs, mais l’ordre de quantificateurs différents change généralement le sens de la proposition.

Compléments

• Pour prouver une proposition universelle, on considère un élément quelconque du domaine ; pour prouver une existence, on exhibe un élément ou on affirme qu’il en existe un si on ne sait pas nécessairement le construire.

💡 Astuce mémo

Deux quantificateurs identiques permutent ; deux quantificateurs différents ne permutent pas.

📖 4. Techniques de raisonnement

★ À maîtriser

• Pour démontrer A ⇒ B par contraposée, on suppose non(B) et on montre non(A).

• Pour démontrer une proposition par l’absurde, on suppose qu’elle est fausse et on en déduit une contradiction.

• Pour démontrer par récurrence une propriété P(n) pour tout entier n ≥ n₀, on établit l’initialisation P(n₀), puis l’hérédité P(n) ⇒ P(n+1).

• Le raisonnement par analyse-synthèse suppose d’abord qu’une solution existe pour en déterminer les valeurs possibles, puis vérifie que chacune des valeurs obtenues est bien solution.

Compléments

• Le raisonnement par équivalences successives établit qu’une proposition est équivalente à une autre au moyen d’une suite d’équivalences intermédiaires.

• Le raisonnement par disjonction de cas sépare les possibilités pertinentes et vérifie que tous les cas sont traités.

📖 5. Ensembles et produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-ensemble : Un ensemble dont tous les éléments appartiennent à A ; on note B ⊂ A, et l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Produit cartésien : Ensemble des couples (x ; y) tels que x ∈ A et y ∈ B.
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
• Ensemble vide : Ensemble ne contenant aucun élément, noté ∅.
• Égalité d’ensembles : Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A.
• Ensembles disjoints : Deux ensembles dont l’intersection est vide.
• n-uplet : Élément du produit cartésien Aⁿ.
• Terme d’une suite : Le terme d’indice n d’une suite u se note généralement u_n plutôt que u(n), et la suite peut se noter (u_n)_{n≥n_0}.
• Suite majorée : Une suite u est majorée s’il existe un réel M tel que u_n≤M pour tout entier n, et M est alors un majorant de u.

★ À maîtriser

📌 Une définition explicite exprime chaque terme en fonction de n, tandis qu’une définition par récurrence donne le premier terme et une règle de calcul de u_{n+1} à partir du terme précédent.

📌 Une suite est croissante si u_{n+1}≥u_n pour tout n, décroissante si u_{n+1}≤u_n, et monotone si elle est croissante ou décroissante.

Compléments

• La réunion est commutative et associative, A ∪ ∅ = A, et A ⊂ A ∪ B.

• Pour représenter graphiquement une suite définie par u_{n+1}=f(u_n), on trace la courbe de f et la droite y=x, puis on construit les termes successifs en alternant les lectures sur ces deux courbes.

• On peut déterminer le sens de variation d’une suite par trois méthodes :

  • étudier le signe de u_{n+1}−u_n
  • étudier le sens de variation de f lorsque u_n=f(n)
  • comparer u_{n+1}/u_n à 1 si tous les termes sont positifs

💡 Astuce mémo

La réunion rassemble les éléments présents dans A ou B ; l’intersection garde ceux présents dans A et B.

📖 6. Limites et convergence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite u tend vers +∞ si, pour tout réel A, il existe un rang n_0 à partir duquel u_n>A.
• Suite convergente : Une suite est convergente lorsqu’elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞.

★ À maîtriser

📌 Si u_n≤v_n≤w_n pour tout n et si u et w convergent vers le même réel l, alors v converge aussi vers l.

📌 Toute suite croissante et majorée converge.

Compléments

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

La suite encadrée entre deux suites qui convergent vers le même point est entraînée vers ce point.

📖 7. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique de raison r si u_{n+1}=u_n+r pour tout n.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique de raison q≠0 si u_{n+1}=q u_n pour tout n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q, $u_n=u_0q^n$.

Compléments

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique est $\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$.

📐 Formule - Pour tout entier n≥1, $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

• Un capital de 300 euros placé à 5 % en intérêts simples augmente de 15 euros par an et atteint 360 euros après 4 ans ; il faut 7 ans pour atteindre au moins 400 euros.

• La somme $\sum_{k=0}^{10}2^k$ vaut 2047.

• Un capital de 300 euros placé à 5 % en intérêts composés suit une suite géométrique de raison 1,05 et atteint environ 364,7 euros après 4 ans ; il faut 6 ans pour atteindre au moins 400 euros.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute toujours r ; géométrique : on multiplie toujours par q.

📖 8. Suites arithmético-géométriques et récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite est arithmético-géométrique s’il existe a≠0 et b réels tels que u_{n+1}=a u_n+b pour tout n.

★ À maîtriser

• Pour résoudre u_{n+1}=a u_n+b, on cherche un point fixe c, on pose v_n=u_n−c, puis on établit que v est géométrique afin d’en déduire u_n.

📌 Une suite vérifiant u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n est déterminée par ses deux premiers termes et l’équation caractéristique x²=ax+b.

📌 Pour u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n, si x²=ax+b a deux racines réelles distinctes r_1 et r_2, alors les suites solutions sont exactement u_n=αr_1^n+βr_2^n.

Compléments

• La suite définie par u_0=4 et u_{n+1}=4u_n+3 a pour expression u_n=5·4^n−1.

📌 Si x²=ax+b possède une racine réelle double r_0, les suites solutions de u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n sont exactement u_n=αr_0^n+βnr_0^n.

• Pour u_0=0, u_1=1 et u_{n+2}=3u_{n+1}−u_n, les racines caractéristiques sont (3+√5)/2 et (3−√5)/2, et u_n=\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^n−\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{3−\sqrt5}{2}\right)^n.

💡 Astuce mémo

Suite arithmético-géométrique : point fixe, soustraction, suite géométrique.

📖 9. Fonctions bijectives et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction bijective : Une fonction f:E→F est bijective si chaque élément de F possède exactement un antécédent par f.

★ À maîtriser

📌 Une fonction f:E→F est bijective si et seulement s’il existe une fonction g:F→E telle que g∘f soit l’identité sur E et f∘g l’identité sur F ; cette fonction g est unique et s’appelle f^{-1}.

Compléments

• La fonction x↦x² est bijective de [0,+∞[ vers [0,+∞[, et sa réciproque est x↦√x.

• La fonction exponentielle de ℝ vers ]0,+∞[ est bijective et sa réciproque est le logarithme népérien.

• Pour déterminer la réciproque d’une fonction, on résout y=f(x) en x et on obtient une équivalence x=g(y), ce qui donne f^{-1}=g.

📌 La courbe représentative de f^{-1} est le symétrique de celle de f par rapport à la droite y=x.

💡 Astuce mémo

La fonction échange les antécédents et images ; sa réciproque échange aussi les coordonnées du graphe.

📖 10. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si sa limite en a est égale à f(a).
• Continuité sur un ensemble : Une fonction est continue sur D si elle est continue en chaque point de D.
• Ensemble image : L’ensemble image de D par f est f(D)={f(x) | x∈D}, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs qui ont un antécédent dans D.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b] et f(a)<c<f(b), alors il existe x_0∈[a,b] tel que f(x_0)=c.

📌 L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Compléments

• Une fonction f est continue en a si et seulement si, pour toute suite x_n qui converge vers a, f(x_n) converge vers f(a).

• Si f est continue et strictement croissante sur [a,b], toute valeur strictement comprise entre f(a) et f(b) possède un unique antécédent dans [a,b].

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I est bijective de I vers son image f(I), qui est un intervalle.

• Si f:I→f(I) est bijective et continue, alors sa réciproque f^{-1} est continue.

• Une fonction continue et bijective définie sur un intervalle est strictement monotone.

📖 11. Bornes atteintes et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Si le taux d’accroissement (f(a+h)−f(a))/h admet une limite finie lorsque h tend vers 0, f est dérivable en a et cette limite f'(a) est son nombre dérivé en a.
• Fonction moyenne : En économie, la fonction moyenne associée à f est f^M(x)=f(x)/x.
• Fonction marginale : En économie, la fonction marginale associée à f est f_m(x)=f'(x), qui représente approximativement la variation de f lorsque x augmente d’une unité.
• Différentielle : La différentielle de f en a est l’application d f_a:h↦f'(a)h.

★ À maîtriser

• Une fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint son minimum et son maximum en des points de [a,b].

• L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

• Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais la réciproque est fausse, comme le montre la valeur absolue en 0.

📐 Formule - L’élasticité ponctuelle de f en a, lorsque f(a)≠0, est $B_f(a)=\frac{a f'(a)}{f(a)}$.

📌 Si f:I→J est bijective, y_0=f(x_0) et f'(x_0)≠0, alors f^{-1} est dérivable en y_0 et (f^{-1})'(y_0)=1/f'(x_0).

Compléments

📌 Le théorème des bornes atteintes ne s’applique pas nécessairement à un intervalle ouvert : la fonction x↦1/x sur ]0,1[ n’est pas bornée.

• Graphiquement, le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

📐 Formule - Pour h proche de 0, l’approximation affine est $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$.

📌 Une fonction est élastique en x si |B_f(x)|>1, inélastique si |B_f(x)|<1 et d’élasticité unitaire si |B_f(x)|=1.

• Pour un coût C avec C(200)=100 et C'(200)=0,3, l’élasticité en 200 vaut 0,6 ; une hausse de quantité de 1 % entraîne approximativement une hausse du coût de 0,6 %, et le coût est inélastique en 200.

📖 12. Accroissements finis et dérivées supérieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivées d’ordre supérieur : Si f' est dérivable, f est deux fois dérivable et f''=(f')' ; par récurrence, f^{(n)} désigne la dérivée n-ième de f.
• Fonction de classe Cⁿ : Une fonction est de classe C^n si elle est n fois dérivable et si sa dérivée n-ième est continue.
• Fonction de classe C∞ : Une fonction est de classe C^∞ si elle est de classe C^n pour tout entier n≥1.

★ À maîtriser

• Si f est dérivable sur [a,b] et f(a)=f(b), alors il existe c∈]a,b[ tel que f'(c)=0.

• Si f est dérivable sur [a,b], il existe c∈]a,b[ tel que (f(b)−f(a))/(b−a)=f'(c).

• Sur un intervalle, f est croissante si et seulement si f'(x)≥0 partout ; si f'(x)>0 partout, alors f est strictement croissante.

Compléments

📌 Si f est dérivable sur un intervalle I et |f'(x)|≤M partout, alors |f(x)−f(y)|≤M|x−y| pour tous x,y∈I.

📖 13. Formules de Taylor et développements limités

★ À maîtriser

📐 Formule - Au voisinage de a, une fonction dérivable vérifie $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+hB(h)$ avec B(h) qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

📐 Formule - Si f est n fois dérivable en a, la formule de Taylor-Young donne $f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+h^nB(h)$ avec B(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0.

Compléments

• Dans le développement à l’ordre 1, le terme hB(h) mesure l’écart entre la fonction et son approximation par la tangente.

📐 Formule - Au voisinage de 0, $\frac{1}{1-h}=\sum_{k=0}^{n}h^k+h^nB(h)$, où B(h) tend vers 0.

📐 Formule - Au voisinage de 0, $(1+h)^\omega=\sum_{k=0}^{n}\binom{\omega}{k}h^k+h^nB(h)$ pour tout réel ω, où $\binom{\omega}{k}=\frac{\omega(\omega-1)\cdots(\omega-k+1)}{k!}$ et B(h) tend vers 0.

• Le développement limité à l’ordre 3 de √(1+h) au voisinage de 0 est $\sqrt{1+h}=1+\frac12h-\frac18h^2+\frac1{16}h^3+h^3B(h)$, avec B(h) tendant vers 0.

• Pour calculer une limite lorsque les méthodes usuelles échouent, on remplace les fonctions par leurs développements limités au voisinage pertinent, puis on simplifie l’expression obtenue.

• La limite de ln(1+x²)/(x(1−x)) lorsque x tend vers 0 vaut 0.

📊 Tableaux de synthèse

Réunion et intersection